Die elementare Theorie der analytischen Funktionen. 67 
des Elements Q(ic). Die Integration auf einem gewissen Wege 
ist also vollständig bestimmt, wenn es feststeht, was es heißt 
und daß es möglich ist, ein Funktionselement auf eben diesem 
Wege analytisch fortzusetzen. Integration und Fortsetzung 
erfolgen im Grunde nicht längs einer Linie, sondern längs 
eines Streifens, längs dessen man eine endliche Anzahl von 
Übergängen vornimmt wie von den Reihen 0(2;) 
zu den Reihen ^43 — «) und O (a; — a). Der Satz, daß das 
Integral einer analytischen Funktion über den Umfang eines 
einfach zusammenhängenden Gebiets, auf dem die Funktion 
regulär ist, verschwindet, kann mit denselben Worten bewiesen 
werden wie der folgende grundlegende Satz der Weierstraß- 
ischen Funktionentheorie: Kann man ein Funktionselement auf 
jedem innerhalb eines einfach zusammenhängenden Gebiets ver- 
laufenden Wege analytisch fortsetzen, so ist die Funktion, die 
das Element definiert, in dem Gebiet eindeutig. Dieser Satz 
ist von Herrn Pringsheimü elementar bewiesen worden. 
Durch diese naheliegenden Erwägungen wird zwar die 
Integration im komplexen Gebiet der Weierstraßischen Theorie 
bis zu einem gewissen Grade eingeordnet; doch fehlen im Kreise 
der elementar formulierten und bewiesenen Sätze noch zwei 
Eigenschaften des komplexen Integrals, auf denen seine wich- 
tigsten Anwendungen in der allgemeinen Funktionentheorie 
wie in der Integralrechnung beruhen: erstens die Abschätzung 
des Integrals aus der Länge der Integrationslinie und einer 
oberen Schranke des absoluten Betrages des Integranden ; zwei- 
tens der Residuensatz, nach welchem das über eine geschlossene 
Linie erstreckte Integral einer stellenweise außerwesentlich sin- 
gulären Funktion durch die Residuensumme ausgedrückt wird. 
Diese beiden Kernsätze der Cauchyschen Funktionentheorie 
wollen wir beweisen, indem wir nur Begriffe und Hilfsmittel 
anwenden, die im Sinne der von Herrn Pringsheim auf- 
Über eine charakteristische Eigenschaft sogenannter Treppen- 
polygone und deren Anwendung auf einen Fundamentalsatz der Funk- 
tionentheorie. Münchener Sitzungsber. 1915, S. 27. 
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