Die elementare Theorie der analytischen Funktionen. 
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Von diesem Falle abgesehen gelten folgende unmittelbar 
ersichtliche Beziehungen : 
0<g, <1, <1, 0< g,„ < 1 , 
2p^q, = eq=q, pl — ql=p, (p^ q^i)^ = p -{■ qi, 
(1) 2 p„i-^i q,n-\-\ = qm ) 2 qm-y i ^ qm > 
(i>m + l + + = Pm + igm, {Pm + iqmf”' = P + q.i- 
Setzen wir ferner 
. qm 
i'm 
so ist immer 
(2) /^m ^ qm 
und gelten die Beziehungen 
2pm + \ 
2qmA-i 
Pm-\-\ 
?m ( Pm , 2 Pm 
Pm^l Pm + l l+Pi 
( 3 ) 
2 Pm + 1 Pm • 
Die drei Ungleichungen (1), (2), (3) ergeben nun, wenn 
s eine positive ganze Zahl ist, 
Pm ^ 2^ Pm-l-s ^ ^ Q.m^ 
2® 2m +s 2® 2m4-s + l ? 2®Pm4-s ^ 2® "b ; 
von den Größenreihen 2”'2m und 2'"pm nimmt also bei wach- 
senden Werten von m die erste beständig zu, die zweite be- 
ständig ab; die Glieder beider Reihen hleiben dabei zwischen 
positiven Schranken. Es existieren also die positiven Grenzwerte 
lim 2”” 2 m = A, lim 2”'pm = A‘; 
daraus folgt weiter 
(4) lim 2»i = 0 , lim Pm — 1 , lim = 1 , 
und die letzte dieser Gleichungen ergibt, da Ä und A' posi- 
tiv sind, A 4 1 
