Die elementare Theorie der analytischen Funktionen. 
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Jetzt sei f{x) eine analytische Funktion und werde durch 
die Stellen Cq, c, , . . Ck hin fortgesetzt; d. h. sie werde in 
der Umgebung der Stelle Cy durch eine Potenzreihe — Cy) 
dargestellt, deren Konvergenzbereich die Stelle Cy^i in seinem 
Innern enthält. Stehen ferner die Reihen Clv zu in der- 
selben Beziehung wie bisher schon O zu ip, so daß die Kon- 
vergenzbereiche der Reihen und Oy übereinstimmen, und 
werden die konstanten Glieder der Reihen Oy immer so be- 
stimmt, daß 
(19) Oy+l(0) = Oy(Cy + l “ Cy) , 
so sind auch die Reihen Oy (a; — Cy) analytische Fortsetzungen 
voneinander und Elemente einer analytischen Funktion F{x). 
Die Größe 
ist das im Weierstraßischen Sinne definierte Integral der Funk- 
tion f(x), von Cq bis Ck gebildet längs irgend einer Linie S, 
die die Punkte c,, enthält und ganz im Innern des Gebiets 
liegt, das von den Konvergenzbereichen der Reihen ^y bedeckt 
wird, und der Gleichung (19) zufolge kann man schreiben 
<^k 
F{Ck) — F (Co) = J f{x) cZa: = 0& (0) — Oq (0) 
«■o 
= {Q.+ l (0) — Oy (0)} {Oy (Cy + , - Cy) - Oy (0)} . 
V V 
Auf die Glieder des letzten Ausdrucks wenden wir die 
Ungleichung (18) an, indem wir voraussetzen, daß auf der 
polygonalen Linie, die die Stellen Cy in der Reihenfolge ihrer 
Zeiger verbindet, die Ungleichung 
\nx)\<a 
gelte; das ist sicher, wenn wir weiter annehmen, diese Un- 
gleichung gelte in einem die polygonale Linie umfassenden 
Gebiet ®, in welchem f {x) auch regulär sei. Dann finden 
wir der Beziehung (18) zufolge 
