Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration. 147 
bittlich auf den Standpunkt stellen, die Anfangs-Rechenmethoden 
der Volksschule (in meiner Jugend ausdrücklich und nicht un- 
passend als „Elementarschule“ bezeichnet), also die vier Spezies 
mit positiven rationalen^) Zahlen als die einzigen „wirklich“ 
elementaren arithmetischen Methoden gelten zu lassen. Sowie 
man versucht, die Grenze höher zu legen, wird der Willkür 
ein weiter Spielraum geöffnet: ich wüßte nicht, warum es dann 
nicht freistehen sollte, jede Methode als elementar zu bezeichnen, 
wenn sie innerhalb eines bestimmten Zusammenhanges nach 
genügender Vorbereitung an der richtigen Stelle erscheint. 
Man kann z. B. die gesamte Lehre von den Funktionen reeller 
Veränderlichen bis in ihre modernsten Verfeinerungen ent- 
wickeln, ohne von der Existenz komplexer Zahlen den geringsten 
Gebrauch zu machen^). Hält man diesen durchaus berechtigten 
Standpunkt konsequent fest, so müßte man innerhalb des be- 
zeichneten Zusammenhanges schließlich dazu gelangen , ein 
Lebesguesches Integral für ein elementareres Hilfsmittel an- 
zusehen, als etwa eine w* *® Einheitswurzel. Auf der anderen 
Seite glaube ich nicht fehl zu gehen, wenn ich das Bedürfnis, 
jeder quadratischen Gleichung eine Lösung zu verschaffen, für 
ein wesentlich elementareres erkläre, als dasjenige, einer im 
Riemannschen Sinne nicht integrierbaren Funktion noch zu 
einem Integral zu verhelfen, und wenn ich unter diesem Ge- 
sichtspunkte die Benützung komplexer Zahlen für ein Hilfs- 
mittel äußerst elementarer Art halte. Dagegen scheint es mir 
z. B. nicht im Sinne einer elementaren Methodik zu liegen, 
wenn man gleich bei der ersten Einführung der komplexen 
Zahlen a-^hi deren transzendente Umformung: 
Schon die negativen Zahlen (von den irrationalen und komplexen 
ganz zu schweigen !) scheiden hier aus, da sie mit einem unverkennbaren 
Stich ins „Nicht-Elementare“ belastet sind: man erinnere sich nur, welches 
Zeitraums und welcher Kämpfe es bedurfte, bis sie das volle arith- 
metische Bürgerrecht erlangten. 
*) Nur bei der Integration der rationalen Funktionen würde dieses 
Prinzip — wenigstens rein theoretisch — eine Lücke hinterlassen, die 
freilich für die praktische Ausführung der Integration nicht in Betracht 
kommt. 
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