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A. Pringsheim 
-f- I |cos arctang — -f* ^ sin arctang — 
in Anspruch nimmt (was zumeist auf rein geometrischem Wege, 
ohne ausreichende Erklärung des arithmetischen Zusammen- 
hanges geschieht). Andererseits gewinnt das nämliche Hilfs- 
mittel sofort den Charakter eines elementaren, wenn im Laufe 
der weiteren Entwickelungen die erforderlichen Vorbedingungen 
sich ergeben haben. 
Hiernach wird man, wenn man dem Begriffe „elementar“ 
näher kommen will, ihn immer nur als einen relativen, nicht 
als einen absoluten auffassen dürfen. Und es würde sich dann 
schließlich nur darum handeln, einen bestimmten Maßstab da- 
für aufzustellen, tvelche von zwei vergleichbaren, d. h. dem 
gleichen Zwecke dienenden Methoden als die elementarere zu 
gelten habe. Wird dann die als elementarer zu erachtende 
Methode kurzweg als die elementare bezeichnet, so scheint mir 
das nach den Gepflogenheiten unseres Sprachgebrauches gerade 
so erlaubt zu sein, wie wenn man z. B. von einem großen 
St. Bernhard oder Meinen Belt spricht. 
Es dürfte kaum auf Widerspruch stoßen, wenn wir, um 
eine Grundlage zu gewinnen, mit zweckmäßiger Erweiterung 
des oben gekennzeichneten Standpunktes die vier Spezies mit 
beliebigen reellen Zahlen für die elementarsten arithmetischen 
Methoden erklären und, nach Einführung der Jcomplexen Zahlen, 
die entsprechend erweiterten Operationen in diesen Kreis auf- 
nehmen, da sie unmittelbar auf die erstgenannten zurück- 
geführt werden können. Jedes einzelne andere arithmetische 
Hilfsmittel mag dann als um so elementarer gelten, je begriff- 
lich-einfacher sein Zusammenhang mit den vier Spezies ist und 
je weniger Schritte erforderlich sind, um es auf diese zurück- 
zuführen. Und dementsprechend wird man eine Gesamtmethode 
als um so elementarer qualifizieren, je elementarer die einzelnen 
Hilfsmittel sind, mit denen sie arbeitet. Das wichtigste, ja 
man kann wohl sagen, das einzige neue Hilfsmittel, welches 
die Analysis den vier Spezies hinzufügt, ist der Grenzuert- 
