Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration. 153 
läßt sich unmittelbar durch Benützung einer gewissen Gattung 
von Mittelwerten^) bestätigen, die begrifflich wesentlich ein- 
fachere arithmetische Konstruktionen als die Integrale, ins- 
besondere keine unmittelbaren Spedalfälle^) der letzteren sind. 
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Man findet auf diese Weise, wenn f(x) = '^>-ax(x — Xg)’- ge- 
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setzt wird und der Kreis \x — Xg \ = r dem Bereiche gleich- 
mäßiger Konvergenz dieser Reihe angehört®): 
(1) {r~^ f{Xg -h r)) = lim (a” r)-^ f(Xg -f a” r) 
{X = 0, 1, 2, . . .), 
unter a die Hauptwurzel der Gleichung a;®” = 1 verstanden. 
Vergleichen wir hiermit die entsprechenden Anfangsschritte 
der Cauchyschen Theorie. Man geht hier von der Frage aus: 
Was läßt sich von einer Funktion f(x) aussagen, von der man 
nichts weiter weiß, als daß sie in irgend einem zusammen- 
hängenden Bereiche eindeutig ist und im komplexen Sinne 
einen Differentialquotienten besitzt? Mir erscheint diese Frage- 
stellung äußerst willkürlich. Warum verlangt man überhaupt 
einen Differentialquotienten „im komplexen Sinne?“ Es wäre 
ja möglich, daß man mit einer noch geringeren Forderung 
auskommt^). Oder aber: Warum verlangt man nicht gleich 
Dififerentialquotienten jeder beliebigen Ordnung? Oder zum 
mindesten noch einen solchen zweiter Ordnung — eine For- 
derung, die ja bei Zurückführung der Differentiationsbedingung 
auf Beziehungen zwischen reellen partiellen Differentialquo- 
tienten durch die in diesem Zusammenhänge sich ergebende 
Laplacesche Differentialgleichung geradezu suggeriert Avird? 
1) Math. Ann. 47 (1896). 
Das Gegenteil wäre nur der Fall, wenn die Mittelwertbildung 
sich auf ein reelles Intervall der Veränderlichen x bezöge, 
ä) A. a. 0., S. 138, Gl. (3). 
*) Das ist in der Tat der Fall: vgl. L. Lichtenstein: Über einige 
Integrabilitätsbedingungen zweigliedriger Differentialausdrücke mit einer 
Anwendung auf den Cauchyschen Integralsatz. (Sitzungsber. Math. 
Ges. Berlin, 9 [22. Juni 1910], S. 86 ff.) 
