Elementare Funktioneiitheorie und komplexe Integration. 
tischen Fortsetzung zu gelangen, einen erheblichen Teil der 
„elementaren“ Betrachtungen nachholen, die im ersten Falle 
den Ausgangspunkt bildeten^). Dafür hat man allerdings die 
Herr Osgood, der ja die Potenzreihen lediglich als ein zweck- 
mäßiges Übungsmaterial für Anfänger ansieht, macht a. a. 0. (s. oben 
S. 151) die folgende Bemerkung: ,Es ist vielleicht nicht allgemein be- 
kannt, daß die Taylorscbe Reihenentwickelung für die Begründung 
der Funktionentheorie durchaus entbehrlich ist, die Beweise gestalten 
sich sogar einfacher, wenn mau sich nur des Analogons des Mittel- 
wertsatzes in der Differentialrechnung (Kap. 7, § 7) bedient.“ Wie aus 
dem letzten Hinweise hervorgeht, ist unter dem „Analogon zum Mittel- 
wertsatze“ die Entwickelung der Integralformel (2) des Textes nach 
Potenzen von x — Xq mit dem Restmtcf/ral ^ | f d ^ 
2 ^ “ ^o)” (2 — 
zu verstehen. Wie durch das beständige Mitschleppen dieses Restgliedes 
eine Vereinfachung der zur Begründung der Funktionentheorie dienen- 
den Beweise eintreten soll, entzieht sich in der Tat meiner Kenntnis. 
Dagegen möchte ich mir gestatten, noch auf eine andere von Herrn 
Osgood a. a. 0. ausgesprochene Ansicht etwas näher einzugehen. An 
die Ankündigung, daß der Beweis des sogenannten Weierstraßischen 
Doppelreihensatzes und gewisser daraus resultierender Folgerungen durch 
Anwendung der komplexen Integration vereinfacht werde, knüpft er die 
folgenden Bemerkungen: „Aber auch die Sätze selbst gewinnen an Deut- 
lichkeit durch das Abstreifen des Nebensächlichen, welches in der häu- 
figen Erwähnung der Potenzreihen besteht. In der Tat beziehen sich 
die wichtigsten unter diesen Sätzen auf Funktionen. Daß diese nach 
dem Taylor sehen Lehrsätze entwickelbar sind, ist hier belanglos.“ 
Der erste Satz dieser Aussage hat überhaupt keinen Sinn: denn, wie 
können die Sätze in der Osgoodschen Fassung an Deutlichkeit gewinnen, 
da sie genau so lauten, wie in der Weierstraßischen Theorie? Es 
könnte also höchstens ihr Wesen, ihre Grundlage an Deutlichkeit ge- 
winnen. Das Gegenteil ist aber der Fall: denn das wahre W'esen, die 
unmittelbar einleuchtende Grundlage der Sätze besteht in der einfachen 
Tatsache, daß unter den gemachten Voraussetzungen die Summe unend- 
lich vieler Potenzreihen sich in eine einfache Potenzreihe umordnen läßt, 
und wird durch Anwendung der komplexen Integration nicht verdeut- 
licht, sondern verdunkelt. Ob man die hierdurch erzielte mäßige Ab- 
kürzung des Beweises als ausreichendes Äquivalent ansehen soll, scheint 
mir zum mindesten zweifelhaft. Doch möchte ich zu völliger Klarstel- 
lung des wahren Sachverhalts noch auf folgendes hinweisen. Faßt man 
den sogenannten Vitalischen Satz ins Auge, der ja eine wesentliche 
