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A. Pringsheini 
fraglos wertvolle Erfahrung gemacht, daß der scheinbar all- 
gemeinere Begriff der differenzierbaren Funktion nicht weiter 
trägt, als der auf die Entwickelbarkeit in Potenzreihen auf- 
gebaute. Aber ist es wirklich so dringend notwendig, vor 
allen Dingen diese Tatsache festzustellen? Es dürfte doch 
schwerlich irgend einem Mathematiker einfallen, die rationalen 
Funktionen von vornherein als solche zu definieren, die ein- 
deutig, differenzierbar und nur mit Polen behaftet sind, und 
sodann nachzuweisen, daß jede solche Funktion als Quotient 
zweier Polynome (von denen das eine sich auch auf eine Kon- 
stante reduzieren kann) darstellbar ist. Wogegen jeder, der 
von dieser letzteren Darstellungsform als der üblichen Definition 
einer rationalen Funktion ausgeht, es sicher als eine erfreu- 
liche Erweiterung seiner Kenntnisse betrachten wird, wenn er 
späterhin einmal erfährt, daß die oben genannten Eigenschaften 
schon ausreichen, um eine Funktion als rationale zu qualifizieren. 
Und so scheint es mir weitaus angemessener, wenn man seinen 
Wissensdrang zunächst auf das bescheidenere Ziel der in Dotenz- 
reihen entwickelbaren (also an eine bestimmte Darstellungsform 
geknüpften) Funktionen richtet und die passende Gelegenheit 
ab wartet, um zu erkennen, daß schon durch die bloße Voraus- 
setzung der Eindeutigkeit und Differenzierbarkeit die Entwickel- 
harkeit in Potenzreihen gesichert erscheint, was sich (mit der 
unerheblichen Zusatzforderung der Stetigkeit des Differential- 
Vervollkommnung des obigen Weier stra bischen darstellt, so erscheint 
das unmittelbare Ansetzen der Integrationsmasehine auf Grund der be- 
stehenden Voraussetzungen ausgeschlossen. Infolgedessen gestaltet sich 
der ursprüngliche, auf dem Ca uchy sehen Funktionsbegriff ohne Tay- 
lor sehe Reihe beruhende Vitalische Beweis (Annali di Mat. (3), 10 
[1904], p. 73, 74) ziemlich schwierig. Vergleicht man ihn (oder auch 
jeden der späteren Beweise) mit dem auf der Taylor sehen Reihen- 
entwickelung beruhenden, geradezu klassisch einfachen Beweise des Herrn 
E. Lindelöf (Bull. Soc. Math, de France 41 [1913], p. 171), so kann für 
jeden Einsichtigen wohl kein Zweifel darüber bestehen, wo die wahren 
Grundlagen des fraglichen Satzes zu suchen sind. Es scheint danach, 
daß die Beschäftigung mit Potenzreihen auch fortgeschritteneren Mathe- 
matikern zu nützlicher Übung dienen kann. 
