Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration. 165 
X 
(II b) {x"'dx = — 
^ ^ J w + 1 ^ . 0 ^ 
Xq 
Das fragliche Integral ist also vom Integrationswege völlig 
unabhängig, sein Wert hängt (nach Art eines reellen Integrals) 
lediglich von den Grenzen x^^ und X ab. 
Ist der Weg ein geschlossener, also X. = x^, so hat das 
Integral allemal den Wert Null. 
§ 2. Das bestimmte Integral eines Polynoms und einer 
konvergierenden Potenzreihe. 
1. Es sei f{x) eine längs eines stetigen rektifizierharen 
Weges (aJfl . . . X) eindeutige und stetige Funktion. Alsdann 
definieren wir das über diesen Weg erstreckte Integral von 
f{x) durch die Formel: 
scheint mir bei Beschränkung auf reelle x auch für die gewöhnliche 
Integralrechnung von Nutzen zu sein. Ohne Zweifel besteht doch in 
diesem Zusammenhänge das didaktische Bedürfnis, die Möglichkeit der 
Berechnung eines bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe an 
irgendwelchen Beispielen evident zu machen. In der Tat dürfte es kaum 
ein größeres, den fraglichen Gegenstand behandelndes Lehrbuch geben, 
welches diesem Bedürfnis nicht Rechnung zu tragen sucht. Dies ge- 
schieht nun in allen mir bekannten Lehrbüchern (und ich habe eine sehr 
große Anzahl daraufhin kontrolliert!) stets in der Weise, daß zunächst 
die Existenz des Grenzwertes bei beliebiger Wahl der Teilung erwiesen 
und sodann die Auswertung an die Benützung einer speziellen Teilung 
X 
geknüpft wird — z. B. bei der Berechnung von J* * dx an eine Teilung 
*0 
X 
in gleiche Intervalle, bei der Berechnung von J* x”* dx (nach dem Yot- 
gange von Dirichlet) an eine solche, bei der die Zwischen werte x^ eine 
geometrische Progression bilden, während doch die unmittelbare Aus- 
wertung des allgemeineren, auf einer beliebigen Teilung beruhenden 
Grenzwertes dem fraglichen Zwecke in noch prägnanterer Weise dienen 
würde. Gerade aus diesem Umstande glaubte ich mit ziemlicher Sicher- 
heit schließen zu dürfen, daß die hier mitgeteilte Methode, so nahe- 
liegend sie erscheinen mag, bisher nicht bemerkt worden ist. 
