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A. Pringsheim 
(III) r f{x) dx = lim XI>' {Xy Xy-l) f{Xy) {Xn=X), 
c/ n— 00 1 
^0 
sofern dieser (im Sinne des vorigen Paragraphen zu bildende) 
Grenzwert existiert. Daß dies allemal wirklich der Fall ist, 
läßt sich ohne besondere Schwierigkeit nachweisen^), wird aber 
hier nicht benützt. Wir können nämlich in dem vorliegen- 
den Zusammenhänge uns damit begnügen,, für den Fall, daß 
jener Grenzwert existiert, daraus die nachstehenden Folgerungen 
zu ziehen: 
1) Es ist stets: 
(lila) 
X 
J f(x)dxi<M-L, 
XQ 1 
wenn 31 das Maximum von \f(x)\ längs des Integrationsweges 
n 
bedeutet und, wie früher (§ 1, Ungl. (3)): Xj’ iiCv — Xy^j\<iL. 
1 
2) Gleichzeitig mit (III) besteht auch die Beziehung: 
(III b) 
Ja*) 
n 
dx = lim '^V {Xy Xy-i) f{Xy-]). 
n-4- CO 1 
^0 
Dies folgt unmittelbar aus dem Umstande, daß f{x) längs 
des Weges (x^ . . . X) gleichmäßig stetig sein muß und daher 
durchweg \ f{Xy) —f{Xy-\) \ < e wird, sofern nur | Xy — Xy—\ \ < ö, 
also für alle n oberhalb einer passend fixierten Schranke. 
3) Durch gleichzeitige Benützung von (III) und (III b) 
ergibt sich: 
X,) X 
J* f (x) dx = — 
X a'o 
1) Beweis s. bei C. Jordan, a. a. 0., Nr. 193. Von der dort ge- 
machten Voraussetzung, daß die betreffende Funktion synelctisch (= im 
komplexen Sinne differenzierbar) sei, wird für den Beweis nur die Stetig- 
keit benützt. 
