Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration. 171 
und daher (mit Berücksichtigung von: — Xy-i \ < L) die 
1 
Summe der drei letzten Glieder von Ungleichung (10) Meiner als 
{L -\-2) e ausfällt. 
Hierauf kann man mit Rücksicht auf Formel (III) und (Vb) 
ein N so auswählen, daß für n ^ N\ 
n 
'L'’{Xy—Xy-i)g,„{Xy—a)—{g^^x{X-a)—g';nJf.\{XQ-a)) < e, 
\ I ; 
so daß die Ungleichung (10) in die folgende übergeht: 
n 
S’'(a;,-a:v_i)i|5(r„ — o)— (it5*(X-a)-'43*(a;o— a)) < (Z -f- 3)£ 
1 
und schließlich ergibt sich: 
n 
lim S” (Xy — Xy-i) ^ (Xy — a) = (X— a) — (X(^—a), 
«— ► CK> 1 
womit die fragliche Behauptung (VII b) bewiesen ist. Ihr In- 
halt kann offenbar auch durch die Formel ausgedrückt werden : 
X X 
(VIIc) J' Cy. (x — dx = Cy ^ (x — ay dx 
^ ® xo 
mit Hinzunahme der Integralformel (IV b), d. h. schließlich 
des Fundamentalsatzes (I). 
Im übrigen enthält Gleichung (VII b) die Aussage, daß 
das Integral von (x — a) längs eines mi Innern ihres Kon- 
vergenzsbereiches verlaufenden (stetigen und rektifizierbaren) ^) 
Weges {Xf^ . . . X) nur von dessen EndpunTden abhängt, also 
*) Unsere Beweismethode trägt also etwas weiter, als diejenige, 
welche Herr Kowalewski in seinem Lehrbuch „Die komplexen Ver- 
änderlichen und ihre Funktionen (1911)“ bei seinen sehr ausführlichen 
und exakten Untersuchungen über die vorliegende Frage angewendet hat. 
Dort muß zu den Voraussetzungen der Stetigkeit und Eektifizierbarkeit 
noch die weitere hinzukommen, daß der Quotient „Bogen durch Sehne“, 
wenn die letztere gegen Null konvergiert, stets unter einer endlichen 
Schranke bleibt (a. a. 0. S. 158). An einem sehr einfachen und lehr- 
reichen Beispiel wird ausdrücklich gezeigt, daß es stetige rektifizierbare 
Wege gibt, welche diese Eigenschaft nicht besitzen. 
