Elementare Funktionenthtorie und komplexe Integration. 173 
§ 3. Das bestimmte Integral einer regulären analytischen Funktion. 
Der Cauchysche Integralsatz. 
1. Es seien (a: — a), (a; — a,) zwei Potenzreihen mit 
teilweise zusammenfallenden Konvergenzkreisen und es bestehe 
in dem gemeinsamen Stücke B ihrer Konvergenzbereiche die 
Beziehung: 
'43(a: — a) = — a,), 
so definieren die beiden Potenzreihen zusammen eine im Innern 
des aus beiden Konvergenzkreisen bestehenden Bereiches A 
analytische Funktion regulären Verhaltens f{x). Dann läßt 
X 
sich zunächst zeigen, daß Jf(x)dx für jeden einzelnen im 
^0 
Innern von (Ä) verlaufenden Weg Xq ... X einen bestimmten 
Wert besitzt, auch wenn der Weg sich über die beiden Teil- 
bereiche erstreckt, in denen nur je eine der beiden Potenz- 
reihen konvergiert. Dabei genügt es offenbar den Fall zu 
betrachten, daß x^ dem einen, X dem anderen dieser Teil- 
bereiche angehört und daß der verbindende Weg Tg ... X den 
gemeinsamen Konvergenzbereich B einmal durchsetzt, da ja 
Wege zusammengesetzterer Art sich im allgemeinen') in eine 
endliche Anzahl solcher bzw. ganz in einem einzigen Konver- 
genzkreise verlaufender Wege zerlegen lassen. Bedeutet dann 
6 irgend einen auf x^ . . . X gelegenen, dem Innern von B 
angehörigen Punkt, so hat man nach Nr. 1 des vorigen Para- 
graphen, Gleichung (Ulf): 
X b X 
J* /'(a:) dx = ^ f{x)dx ^ f(x)dx, 
Xq Xq b 
und da auf Grund der Definitionsgleichung (III) des vorigen 
') Der allerdings denkbare Fall, daß ein Wegstück eine der beiden 
Grenzlinien von B unendlich oft durchsetzt, bietet keine Schwierigkeit, 
da ja eine der beiden Potenzreihen längs dieses ganzen Wegstückes 
konvergieren muß. 
