Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration. 175 
Weg B' in einem bestimmten Richtungssinne, dem sogenannten 
positiven, bezeichnet, so soll gezeigt werden, daß : 
(1) jf{x)dx = 0 . 
+ (ß') 
Beweis. Da f(x) im Innern und auf der Begrenzung von 
B‘ regulär ist, so existiert für jede Stelle x' von B' eine Um- 
gebung X — a:' < r', innerhalb deren eine Entwickelung von 
CD 
der Form f(x) = ^^■c^(x — x*y besteht. Dabei besitzen nach 
0 
einem bekannten Satze die positiven Zahlen r‘ ein von Null 
verschiedenes Minimum, das mit q bezeichnet werden möge. 
Zerlegt man nun den Bereich B‘ durch horizontale und ver- 
tikale Gerade im Abstande ]/ ^ q in eine endliche Anzahl von 
Teilbereichen (Quadraten und Bruchstücken von Quadraten) Bx, 
so ist die größte Entfernung zweier Punkte, von denen einer 
im Innern, der andere auf der Grenze eines solchen Teil- 
bereiches Bx liegt. Meiner als die Diagonale eines Quadrats mit 
der Seite p , d. h. Meiner als g. Wird also ein Punkt Xx 
ganz beliebig im Innern von Bx angenommen, so liegt die 
gesamte Begrenzung von Bx noch innerhalb des Konvergen;- 
bereiches einer Entwickelung von der Form 
f (x) = (x — xxy. 
0 
Infolgedessen ergibt sich nach Nr. 3 des vorigen Para- 
graphen, daß für jedes A: 
(2) j f{x)- dx = 0. 
Ferner besteht für f(x) insbesondere längs der Begrenzung 
von B' ein System in einander greifender Potenzreiben -Ent- 
wickelungen, und es besitzt daher das Integral von f {x) er- 
streckt über die Begrenzung {B‘), etwa in positivem Richtungs- 
sinne, nach Nr. 1 einen bestimmten Wert. Andererseits ist 
aber dieses Integral gleich der Summe aller über die ein- 
