176 
A. Pringsheim 
zelnen (Bx) in entsprechendem Sinne erstreckten Integrale, da 
ja bei der Addition dieser letzteren alle von den (zweimal in 
entgegengesetzter Richtung zu durchlaufenden) Hilfsgeraden 
herrührenden Bestandteile sich herausheben. Somit ergibt sich 
mit Berücksichtigung von Gleichung (2) die Richtigkeit der 
oben ausgesprochenen Behauptung (1). 
3. Im vorstehenden ist also der Cauchysche Integralsatz 
bewiesen für die lediglich als stetig und rektißzierbar voraus- 
gesetzte Begrenzung eines zusammenhängenden Bereiches B 
unter der Voraussetzung, daß die zu integrierende Funktion f (x) 
sich im Innern und auf der Begrenzung regulär verhält. Da 
aber andererseits ohne Benützung der komplexen Integration, 
nämlich mit Hilfe der wesentlich einfacher gearteten Mittel- 
werte gezeigt werden kann ^), daß jede in irgend einem Be- 
reich B eindeutige und stetig-differenzierhare (d. h. mit einem 
stetigen Differential quotienten f {x) versehene, nach der Gauch y- 
schen Terminologie synelctische) Funktion f{x) daselbst regu- 
lären Verhaltens ist, so ist damit der fragliche Satz in dem 
bezeichneten Umfange zugleich für solche stetig-differenzierhare 
Funktionen bewiesen, d. h. in genau demselben Umfange, wie 
ihn der Beweis von C. Jordan* *) gibt, der ja bis zum Er- 
scheinen des Goursatschen Beweises mit dem , Lemma“*) als 
der am weitesten reichende zu gelten hatte. 
4. Will man schließlich dem Cauchyschen Integralsatze 
(immer bei Zulassung von Integrationswegen, die lediglich stetig 
und rektißzierbar zu sein brauchen) bezüglich der Voraus- 
setzungen über f{x) denjenigen Grad von Allgemeinheit geben, 
wie der (übrigens auf eine speziellere Gattung von Integrations- 
wegen sich beschränkende) Goursatsche Beweis ihn besitzt, 
d. h. fordert man für f{x) lediglich die Existenz eines für 
jedes einzelne x endlichen Differentialquotienten f {x), nicht 
1) s. Math. Ann. 47 (1896), S. 147 und besonders diese Berichte, 
Bd. 26 (1896), S. 167 fF. 
*) Cours d’Analyse 1 (1893), No. 193 — 198. 
®) Amer. Math. Soc. Transact. 1 (1900), S. 14. Vgl. auch 2 (1901), S. 413. 
