Elementare Funktionentheorie und komplexe Integration. 177 
aber dessen Stetigkeit, so läßt sich dies sehr einfach in fol- 
gender Weise bewerkstelligen. Man braucht dazu die Beziehung 
^f{x)dx = 0 nur für den Fall zu beweisen, daß die Inte- 
gration sich über den Umfang eines Dreiecks erstreckt ‘), wo- 
raus dann unmittelbar die Gültigkeit der analogen Beziehung 
für den Umfang eines Polygons resultiert. Wird dann in 
irgend einem einfach zusammenhängenden Bereiche, in welchem 
fipc) dififerenzierbar ist, ein beliebiger Punkt x^ fest angenom- 
men, so ist für jedes dem Bereiche angehörige x bei Zulassung 
X 
beliebiger polygonaler Integrationswege F{x) = ^ f{z)dz vom 
Wege unabhängig, also eine eindeutige Funktion von x. Man 
hat sodann: 
.-k+A x4-A 
Fix -Y h) — Fix) = ^ fis) d2= ^ if (2) —fix)) d2 -\-f ix) ■ h, 
X X 
(wo bei hinlänglich kleinem \ h \ die Integration von x Vxs x -[- h 
geradlinig vollzogen werden kann) und daher: 
X-\-h 
x-\- h 
wenn eine obere Schranke ö für Ä| so bestimmt wird, daß: 
fi2) — fix)\<.e für: \2 — x ■^\h\<id, 
was wegen der (aus der Differenzierbarkeit folgenden) Stetig- 
keit von fiP) allemal möglich ist. Man findet also: 
Fix k) — F ix) 
A->o h 
= 0 
') Eine sehr einfache und kurze Fassung dieses Beweises habe ich 
in Bd. 33 (1903) dieser Berichte S. 681 angegeben. 
Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1920. 
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