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A. Pringsheim 
und zwar gleichmäßig für alle h, wenn x h geradlinig nach 
X konvergiert. 
Mithin ist F{x) in allen (geradlinigen) Richtungen gleich- 
mäßig differenzierbar, also schlechthin differenzierbar und schließ- 
lich, wegen: 
stetig differenzierbar, also nach dem oben gesagten regulär. 
Gleichzeitig mit F{x) ist aber auch F'{x), d. h. f(x) regulär 
und es gilt also für die zunächst nur als eindeutig und dif- 
ferenzierhar vorausgesetzte Funktion f {x) der Cauchysche 
Integralsatz in dem oben für reguläre Funktionen festgestellten 
Umfange. 
§ 4. Das Integral von x~^ für einen geschlossenen Weg um den 
Nullpunkt. — Der Cauchysche Randintegral- und Residuensatz. 
1. Aus dem Cauchyschen lutegralsatze folgt in ent- 
sprechendem Umfange und nach bekannten Methoden die Un- 
X 
abhängigkeit des Integrals J f{z)dz vom Integrationswege, 
^‘0 
die Differenzierbarkeit nach der oberen Grenze und der Zu- 
sammenhang mit dem unbestimmten Integral. Hierauf braucht 
also nicht weiter eingegangen zu werden. Dagegen bleibt 
noch eine Frage offen, die sich auf das Integral von x~^ be- 
zieht. Da x~'^, abgesehen von der Stelle x — 0, sich regulär 
X 
verhält, so existiert J f{z)dz für jeden die Stelle x = 0 ver- 
■fO 
meidenden Integrationsweg und verschwindet, falls der letztere 
ein geschlossener ist und die Stelle x = 0 auch nicht im Innern 
enthält. Es bleibt also nur das Integral J x~' dx für einen 
die Stelle x = 0 umlaufenden geschlossenen Weg auszuwerten, 
wobei es auf Grund des Cauchyschen Integralsatzes freisteht, 
jeden (in dem angegebenen Umfange) beliebigen Weg durch 
einen nach Bedarf gewählten speziellen zu ersetzen. Wir wählen, 
um die Berechnung ohne die Benützung der üblichen Trans- 
