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A. Pringsbeim, Elementare Funktionen theorie etc. 
( 10 ) 
J: 
+(C) 
dx 
= 2ni, 
falls der geschlossene Weg ((7) die Stelle a im Innern enthält. 
Ist nun f (x) regulär im Innern und auf der Begrenzung 
eines Bereiches B von der Art, wie er beim Beweise des 
Cauchyschen Integralsatzes benützt wurde, und bezeichnet 
man mit x' jede beliebige Stelle hn Innern von B, so ist auch 
^ — - in demselben Umfange (insbesondere auch an der 
OC ' ■ oc 
Stelle x‘) regulär, und man findet daher auf Grund des Cauchy- 
schen Integralsatzes und Gl. (10): 
0 
= J 
f(x)-f(x‘) 
dx 
— r clx — 2jiif {x‘), 
J X — x‘ 
also: 
(11) 
+(fi) 
+(ß) 
+ (ff) 
{C a uchy scher Bandintegralsats). 
Enthält der Bereich B im Innern die isolierte singuläre 
Stelle a und bezeichnet man mit {K) einen in B verlaufenden 
Kreis um a, so hat man zunäch.st: 
J* f{x)dx = ^ f{x) dx. 
+ lß) +(A-) 
Da nun für die Umgebung von a auf Grund der Mittelwert- 
methode^)eineLaurentscheEntwickelung von der Form besteht: 
+ 00 
f {x) = D- Cy. {x — ay, 
— oc 
so findet man mit Benützung des in § 2 über die Integration 
von Reihen nach positiven bzw. negativen Potenzen gesagten, 
sowie von Gleichung (10): 
J f{x)dx = 2 7iic-i {Cauchy scher Residuensatz). 
+(ß) 
0 Vgl. diese Berichte, Bd. 25(1895), S.85 oder Math. Ann. 47 (1896) S. 147. 
