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H. Liebmann 
Beweglichkeit nicht verliert, wenn man drei Punkten, nämlich 
den Ecken des Stahdreiecks feste Koordinaten zuweist, dafür 
aber die drei Bedingungen fortläßt, die die Forderung unver- 
änderter Länge der drei Seiten analytisch wiedergeben. Es 
bleiben dann also für die 3 — -9 Koordinatenvariationen der 
k — S übrigen Punkte genau 3/c— 9 = s — 3 lineare homogene 
Gleichungen übrig, deren Determinante zu untersuchen ist. 
Gewiß ist die Verminderung der Koordinatenvariationen 
um neun Stücke „im allgemeinen“ gestattet, jedoch bleibt die 
Frage zu erörtern : Gegeben sei ein Raumfach Averk (s == 3 ä: — 6), 
das zum mindesten einen Freiheitsgrad der inneren Beweglich- 
keit besitzt. Ist es immer (durch Stabvertauschung) möglich, 
drei Knotenpunkte festzulegen und dafür drei Bedingungen fort- 
zulassen, ohne daß der Freiheitsgrad verloren geht? Aber die 
Beantwortung dieser Frage würde sich in Spezialuntersuchungen 
zersplittern. 
Bei ebenen Fachwerken (s = 2Jc — 3) tritt diese formale 
Schwierigkeit überhaupt nicht ein, denn sie verlieren keinen 
Freiheitsgrad der inneren Beweglichkeit, wenn man beide End- 
punkte eines Stabes festhält. Dann ist nur noch die Deter- 
minante von g ^ _ 2 Je 4 
linearen homogenen Gleichungen zwischen 2 (Je — 2) Koordinaten- 
variationen zu untersuchen^). 
Die Beweisführung der Sätze, die in den drei folgenden 
Abschnitten für Raumfachwerke bewiesen werden, verläuft 
1) Als Beispiel führen wir das bekannte, von Müller-Breslau 
zuerst untersuchte Beispiel des ebenen Fachwerks s = 9, k = Q an, das 
aus einem Sechseck mit drei Diagonalen (14), (25), (3C) besteht. Läßt 
man bei der kinematischen Untersuchung die Bedingung d r ,2 = 0 fort 
und setzt öx^ = dyi = 8 x 2 = 6 = 0 , so erhält man als Determinante 
der übrigen Gleichungen 
D = (136) (145) (234) (256) — (134) (156) (236) (245), 
wobei (x k y) der doppelte Inhalt des Dreiecks mit den Ecken x, A, y ist. 
D = 0 weist bei Festhaltung von fünf Punkten dem sechsten als gefähr- 
lichen Ort einen Kegelschnitt zu, und D ist geradezu das Reißsche 
Flächenprodukt von sechs Punkten (Reiß, a. a. 0., S. 401). 
