Zur Theorie der reziproken Radien. 
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1)^ J^ = —JI) 
eine bis aufs Vorzeichen absolute Invariante ist, zu der man 
hinzufügen kann. 
Die Invariante D hat übrigens noch eine allgemeinere 
Bedeutung. Aus der bekannten Formel für den kürzesten 
Abstand d zweier Strahlen mit den Richtungscosinus a, , ß^, 
^ 2 ) /^ 2 > Vi Neigungswinkel ö, welche von den Punk- 
ten \ y^, ^2 ausgehen, 
^2 — 2/2 — 2/l ^2 — I 1 
ßi yi |/i_cos-2ö 
«2 ß2 7-2 
folgt für den Fall, daß a, , ß^, durch X, F, Z] ß^, y^ 
durch Y -\- dY, Z -\- dZ ersetzt werden 
dx 
d — X : Q , wo Q = YdX.“^ -)- -|- dZ'^. 
dX 
Multipliziert man diese Gleichung mit der Determinante 
X x„ x„ = VEa- F\ 
wobei für die Koordinaten x, y, z der Ausgangsfläche und die 
Richtungscosinus die Parameter u, v gewählt sind, und 
X-u — Xu X^y — /j , X Xfj Xu — ^ x^ Xp y 
XX: = E, XX„ X„ = E, XXl = G 
gesetzt ist, so erhält man 
e du 4- f dv f du 4- adv , 
d = — .üVEG — F\ 
E du 4- Edv F du Y 
Diese Formel, die sich in E. Kummers Abhandlung über 
geradlinige Strahlensysteme (.J. v. Grelle, Bd. 57) nicht findet, 
ist natürlich längst bekannt, aber ihre weitläufige Ableitung 
