Zur Theorie der reziproken Radien. 
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In sehr einfacher Weise läßt sich auch die partielle 
Differentialgleichung 
4 ) (1 — r'^y ~ h = konst., 
oder (1 — r*)* (1 + -f 3^) = 4 Ä:'* {px q y — 
lösen. Unter dieser Voraussetzung ist nämlich 
5) = i + {PQy = h\ 
Die Punkte Q liegen daher auf einer Kugel (Q), die um 
0 mit dem Radius Vl — beschrieben ist, und die Ent- 
fernung jeden Punktes P (resp. P^) von Q ist gleich h. Nun 
sind drei Fälle möglich. Entweder gibt es auf (Q) zwei- 
fach unendlich viele Punkte Q dieser Art. Dann ist die 
Kugel (Q) Parallelfläche der Fläche P (P,); letztere also 
selbst eine mit (Q) konzentrische Kugel vom Radius 
/c -j- ]/ 1 -f- P resp. — 7c. Oder es fallen alle Punkte Q 
mit einem einzigen Punkte von (Q) zusammen. Dann liegen 
die Punkte P und Pj auf einer um diesen Punkt mit dem 
Radius h beschriebenen Kugel. Oder endlich die Punkte Q 
bilden eine Kurve C auf (Q). Die Fläche P (P^) ist dann 
eine Röhren fläche, die durch die Enveloppe der Kugeln 
vom Radius k, deren Mittelpunkte auf C liegen, entsteht. 
Setzt man in der Tat 
f^{x- ^{y- yf -f (^ - 0 * - = 0 
^ 11^ H- = 1 + k\ 
so ist die Differentialgleichung 5) erfüllt, da der Ausdruck S 
gleich 1 — wird. Im zweiten Falle hat man daher die 
vollständige Lösung mit den drei Konstanten Cj, c^, Cj, 
zwischen denen die Gleichung 
ci -p ^2 -y C'z — 1 7c^ 
stattfindet, f — {x — Cj)^ + ^ + (•^ — <^ 3 )^ — 
erste Fall stellt die singuläre Lösung vor; der dritte endlich 
gibt als allgemeine Lösung durch den gewöhnlichen Prozeß 
