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A. Yoss 
der Enveloppenbildung die Röhrenflächen vom konstanten 
Radius k. 
Die Gleichung 2) gestattet eine von Interesse erscheinende 
Umkehrung. Die Enveloppe der von den Punkten ij, C 
der willkürlichen Fläche Q mit dem Radius = P 
+ — 1 beschriebenen Kugeln erzeugt die beiden 
durch das Prinzip der reziproken Radien verbundenen 
Punkte 1\ Pj von 2 Flächen P, Pj. 
Es ist nämlich für die Koordinaten x, y, z eines Punktes 
der Enveloppe des Systems 2) oder 
- xf + (,/ - tjf + (c - Zf = - 1 
immer 
7) x^ -\r — 2{^x -f yy -f 'Qz) -\- \ = 0. 
Setzt man jetzt y, s als abhängig von den Para- 
metern M, V voraus, so hat man 
y \ -|- yuy “I“ CuZ = 0 
^ ivX -f }],y -f Ccz = 0 . 
Demnach ist /.x = Z, Xy = H, Xz = Z, wo Z, II, Z 
die Richtungscosinus der Normale der Fläche Q sind, also 
Setzt man dies endlich in 7) ein, so erhält man die 
Gleichung 
8 ) X^-2X(iZ-^yH-fCZ)-\- 1 =0 
deren Wurzeln X^ durch die Gleichung = 1 miteinander 
verbunden sind. Bezeichnet man die zugehörigen Werte der 
X y z durch x^, y,, z,-, x.^, y.^, z^ so ist 
x^ = r = X, 
Ke, *^1 
wie gezeigt werden sollte. Dann und nur dann, wenn 
Z -\- 1 ] II Z Zf — 1 ein Quadrat ist, zerfällt die Enveloppe 
in zwei völlig getrennte Mäntel; dies ist in den bisher be- 
