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A. Pringsheim 
Diese Relation bildet die Hauptgrundlage für den Beweis 
des folgenden („Hardy-Landauschen“) Satzes; 
Für die Konvergenz einer bereits als reduzihel 
erkannten Reihe Za,, mit reellen Gliedern ist hin- 
reichend, daß; 
(Hb) lim wa„ <; -j- c» D. 
— ► 00 
Beweis. Da die Reihe als reduzihel vorausgesetzt wird, 
so muß für irgend ein bestimmtes /r i> 0 eine Beziehung von 
der Form bestehen ; 
(5) lim + i (s„) = s. 
n — ► 00 
Wir zeigen, daß dann infolge der Voraussetzung (Hb) auch; 
(5 a) lim 3^4 (s„) = s, 
n— ► CO 
und da es freistände, auf Grund dieses Ergebnisses die frag- 
liche Schlußweise beliebig fortzusetzen, so würde auf diesem 
Wege schließlich sich ergeben, daß; 
lim 21io(s„) = s, also; lim s„ = s, 
n — ► 00 n — ► X 
CO 
d. h. daß die Reihe gegen die Summe s konvergiert, 
u 
Es handelt sich also lediglich um den Nachweis, daß aus 
(5) allemal (5 a) folgt. 
Man hat nun infolge der Voraussetzung (H b) bei passend 
gewähltem H. > 0 (für r = 0, 1, 2, . . .); 
va,. < Ä, 
also auch ; 
{ra„) < A, 
und durch Fortsetzung dieser Schlußweise; 
(j’ßv) < A (für ;< = 0, 1, 2, . . .), 
anders geschrieben, mit Berücksichtigung von Gl. (4) und der 
zugehörigen Fußnote 3); 
Nach dem in der Einleitung Gesagten könnte man selbstver- 
ständlich statt der Voraussetzung (II b) auch die Voraussetzung (II a) zum 
Ausgangspunkte nehmen. 
