Konvergenzbedingung für reduzible unendliche Reihen. 
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so daß also: 
fl' 
lim (w ± «') = °° ) = e, lim . 
II -O) n-focW n — n‘ 
s 
l-e' 
lim 
»i — « 
w + l 
n' 
1 
E 
Da sodann mit Berücksiclitigung von Gleichung (5): 
lim + — lim (S/i) Sn — Sj 
n — ► 00 »t oc 
so folgt aus (17) für n — »-oo: 
(18) 
lim aUft (s„) 
< s 
■A 
> S £ ■ Ä 
und, da es freisteht, e unbegrenzt zu verkleinern^), schließlich 
in Übereinstimmung mit Gleichung (5 a): 
lim (s„) = s, 
n— ► 00 
womit der oben ausgesprochene Satz bewiesen ist. 
Die Frage, ob der Satz in der eben bewiesenen Fassung 
eine größere Tragweite besitzt, als in der ursprünglich von 
Herrn Hardy angegebenen, ist nicht ohne weiteres zu be- 
jahen (wie es bei oberflächlicher Betrachtung vielleicht den 
Anschein haben dürfte). Der Satz lehrt, daß die als reduzibel 
vorausgesetzte Reihe konvergiert, wenn nur so viel fest- 
steht, daß die Zahlen rüy einseitig beschränkt sind. Dadurch 
wird die Anwendbarkeit des Satzes ira Vergleich zu der 
Hardyschen Fassung sicherlich erleichtert, möglicher- 
weise auch erweitert (es könnte ja, auch wenn vollständige 
Das läuft also darauf hinaus, daß die früher eingeführten Zahlen 
n' schließlich der Bedingung n' n unterworfen werden. Doch wäre, 
wie ein Blick auf die Ungleichungen (17) lehrt, das gewünschte End- 
resultat nicht erzielt worden, wenn man diese Bedingung ohne weiteres 
in (17) eingeführt hätte. Der sinnreiche Kunstgriff, den erforderlichen 
Grenzprozeß, wie geschehen, in zwei nach einander auszuführende zu 
zerlegen, dürfte von Herrn de la Vallee Poussin herrühren. 
