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A. Pringsheim 
Beschränktheit der Zahlen ra,. vorhanden sein sollte, auf un- 
überwindliche Schwierigkeiten stoßen, mehr als die einseitige 
wirklich festzustellen). Ob aber der Geltungsbereich des 
Satzes an Umfang gewonnen hat, hängt doch von der Be- 
antwortung der folgenden Frage ab: Gibt es überhaupt kon- 
vergente Reihen 2'a^, bei denen die Zahlen vüy nur ein- 
seitig beschränkt sind? Für den Fall (zum mindesten von 
einer bestimmten Stelle ab) durchweg gleichbezeichneter o,. 
macht es keine Schwierigkeit, die obige Frage zu bejahen- 
Hätte man etwa durchweg av>0, und limva,,<oo (z. B. 
V— ► 00 
lim vtty = 0, was ja insbesondere der Fall sein muß, wenn 
J' — ► X 
— tty konvergiert und die üy eine monotone Folge bilden), so 
lassen sich die a,, in eine Folge (aj,) umordnen^), für welche 
die Beziehung lim val — co besteht, während andererseits 
V— ► CO 
die Beschränktheit der Zahlen ral. nach unten, sowie die 
Konvergenz der Reihe 2’aj, erhalten bleibt. Doch bietet 
dieser Fall, wie auch der sogleich zu besprechende und ganz 
analog zu behandelnde der absoluten (also unbedingten) 
Konvergenz in dem vorliegenden Zusammenhänge kein be- 
sonderes Interesse. 
00 
Angenommen die Reihe ij*' Uy enthalte unendlich viele 
1 
Glieder beiderlei Vorzeichens, so mögen die positiven mit 
Uj, Olgl • • • ) Uy ^ 
die negativen mit 
ßlt /^2> - • • I ßy • • • 
bezeichnet werden. Wegen der Konvergenz von A’rt,, sind dann 
die Reihen A’a,,, ^ ß,. entweder beide konvergent oder beide 
divergent. Im ersten Falle ist A’«,, unbedingt konvergent 
und, wenn limva,, <co, limj'/9y<oo vorausgesetzt wird, so 
V — ► CO J' 30 
1) S. Math. Ann. 35 (1890), S. 344 — oder auch meine „Vorlesungen 
über Zahleulehre“, Abt. 11 (1916), S. 353. 
