Konvergenzbedingung für reduzible unendliche Reiben. 283 
steht es frei, ohne die Konvergenz der Reihe zu stören, die Uy 
so weit hinauszuschiehen, daß für die jetzt etwa mit I^a'y zu be- 
zeichnende Reihe lim i’ Uy = -j- oo wird, während lim vai, > — oo 
bleibt, bzw. durch hinlängliches Hinausschiehen der ßy das 
entgegengesetzte Resultat zu erzielen. 
Sind dagegen die Reihen 2"a,,, ^ ßy beide divergent, 
so tritt bei der Reihe 2ay der (für nutzbringende Anwendung 
des fraglichen Satzes wohl ausschließlich in Betracht kommende) 
Fall bedingter Konvergenz ein, bei dem also die Zulässigkeit 
einer Gliederumordnung an verhältnismäßig enge Grenzen ge- 
bunden und daher das zuvor eingeschlagene Verfahren nicht 
ohne weiteres anwendbar ist. Und da ja die bedingte Kon- 
vergenz nur dadurch zu Stande kommt, daß bei gleichzeitiger 
n n 
Unbeschränktheit von U>' und ßv zwischen den Oy 
1 1 
einerseits und den (— ßy) andererseits ein gewisses Gleich- 
gewicht besteht, so ist die Vermutung nicht von vornherein 
abzuweisen, daß vielleicht im Falle der Konvergenz von Zuy 
die Zahlen vay entweder nach beiden Seiten beschränkt 
oder nach beiden Seiten unbeschränkt sein müßten^). Daß 
dies aber tatsächlich nicht zutritft, läßt sich folgendermaßen 
zeigen. Es mögen die o^, ßy so angenommen werden, daß: 
Oy > ßvi lim vüy = -j- < + 00 ■ 
j'-f 00 y— ► 00 
Man kann dann die.a,,, ßy) nach dem bekannten 
Riemannschen Verfahren zu einer bedingt konvergenten 
Reihe mit vorgeschriebener Summe, z. B. mit der 
Summe 0, zusammenfassen ^). Dabei werden infolge der er- 
h Einfaches Beispiel für beide Eventualitäten: 
CO j ® 1 
Vv - COSVX, — COS U’ 
I ^ I Vv 
wo X t 2 k jz (k = 0, + 1, + 2, . . .). 
Die beiden Anfangsglieder der Reihe lauten in diesem 
Falle: ui — ßi. 
