284 A. Pringsheim, Konvergenzbeding, f. reduzible unendl. Reihen. 
sten der obigen Bedingungen die negativen Glieder ( — ßr) 
wesentlich häufiger auftreten, als die positiven ay. Be- 
zeichnet man nun die positiven Glieder mit die nega- 
tiven mit a„^, so ist für r > 1 durchweg: 
da ja jede beliebige Anzahl von (mindestens zwei) Anfangs- 
gliedern auch negative Glieder enthält und zwar nach dem zu- 
vor gesagten zum mindesten von einem gewissen v ab mehr als 
die Hälfte, so daß alsdann andererseits für die a,,^ sich ergibt: 
^ w,. , also : Hy <i 2 r. 
Daraus folgt aber, daß: 
lim py dp > lim vOy = -f- cc , lim riy [ a„^ < lim 2 v ßy co , 
>'^00 V-4-® V— *-CC 
anders geschrieben: 
lim vtty = -f- 00 , lim va,, > — oc , 
v-*-oo 
d. h. die Zahlen vüy sind nach oben unbeschränkt, nach 
unten beschränkt. Es gibt also auch bedingt konvergente 
Reihen Aa,., bei welchen die Zahlen rUy nur einseitig be- 
schränkt sind und die infolgedessen nicht auf den ursprüng- 
lichen Hardyschen Satz, wohl aber auf dessen Landausche 
Verallsemeineruns!' reagieren würden. 
