Geometrisches über die Verteilung der Nnllstellen etc. 289 
Inteofral — — . f ( 1 — — ^ dxi, erstreckt über zwei ge- 
° 2 711 J F{u) °\uj ° 
scblossene Kurven; die sind: 1) ein Kreis, der durch keine 
Nullstelle von F (u) hindurcligeht, mit dem Mittelpunkte u = 0 
und dem Radius q '>'2 , im positiven Sinne durchlaufen; 
2) eine geschlossene doppelpunktlose Kurve, ganz im Innern 
des genannten Kreises enthalten, die u = 0 und ti = 2 ein- 
schließt, sämtliche Nullstellen von F (u) ausschließt und im 
negativen Sinne durchlaufen wird. Es ist zu bemerken, daß 
im Zwischenraum der beiden beschriebenen Kurven der Inte- 
grand eindeutig und bis auf Pole erster Ordnung regulär 
ist. Es ist zweckmäßig q nicht stetig, sondern durch gewisse 
ausgewählte Werte hindurch ins Unendliche wachsen lassen. 
Es kann 
F‘ ( 2 ) 
die eine günstige Abschätzung von gestalten. 
etwa der folgende elementare und verhältnismäßig einfache 
Hilfssatz benutzt werden: 
Es sei 0 < Cj Cj < C3 < . . . , lim c„ = 00. Die Anzahl 
n = CO 
derjenigen Zahlen Cy, die < r sind, sei mit N (r) bezeichnet. 
Es sei vorausgesetzt, daß 
lim 
r = 00 
N (r) — r 
Yr ' 
= 0 . 
Dann kann man, sobald r eine gewisse Grenze übersteigt, 
in dem Intervall von r — bis r -j- eine Zahl q finden 
(p ist als Funktion von r aufzufassen), derart daß 
1 ® o 
lim V ^ r < 1. 
r= 30 |/p lg p y-i Cy p Cy\ 
4. Von den Beziehungen dieser Sätze zu geometrischen 
Fragen sei nur einiges erwähnt. Neben F ( 2 ) und 21 betrachte 
man die Funktion 
i^) = Ql (^) e''»* + Qi (^) e’’^“ + • • ■ + Qn {2) e'‘n‘ 
(Ql (•^)) Q2 (■^)t • ■ ■ Qn {^) Polynome) und das kleinste konvexe 
Polygon 23, das die Punkte 6,, ... h„ umfaßt. Es sei 
