über Jen Stolzsclien Irrationalitätssatz. 
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Für jedes r ist von den n \ aufeinander folgenden Zahlen 
— 1 , ^»'1 • • •» — 1 
mindestens eine <C s. Denn wären sie für einen gewissen r-Wert 
alle > s und folglich > s d, wo S eine positive Zahl ist, so 
wäre nach (3) auch > s -F und überhaupt zl;. > s -j- d 
für n, was aber der zweiten Gleichung (5) widerspricht. 
Bedeutet nun e eine beliebig kleine positive Zahl, so sind 
für genügend große r in Gleichung (3) die zl der rechten Seite 
kleiner als S -f- e, und mindestens eines ist sogar <C s. Daher 
folgt aus (3), weil die Klammergrößen jetzt > g sind : 
^v + n ^ S e — ^ ((S -j“ f s)- 
Wenn nun S^s, so besagt diese Ungleichung, sofern 
nur £ klein genug gewählt wird: 
zly_|_ „ ^ S g , 
wo t] po.sitiv ist, und überhaupt ist dann zl;. < — ?; für 
X,'>v-\-n, was aber der ersten Gleichung (5) widerspricht. 
Die Annahme <5 > s ist also falsch, und folglich muß S = s 
sein. Da somit der Grenzwert 
lim zly = /S = s 
y = 00 
existiert, ist 
lim Dy = lim (/Jy — l,,_i) = 0. W. z. b. w. 
V = GO V = 00 
Beweis von Satz 4. Ein solcher ist überflüssig, da dieser 
Satz eine Folge von Satz 2 ist, wie bereits in § 1 erwähnt. 
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