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G. Faber 
63) 
[1 — z(x n )]x™ ß m + ' 
ß-1 
£ (in + 1) K m . 
Die linke Seite nimmt für ß = m ^ ihren kleinsten 
m 
Wert an und es ist also um so mehr 
64) 
*o< 
m Jc„ 
(m + 1) (1 — z(x 0 )) m ' 
Damit ist Ungleichung (9) bewiesen und zwar ohne ein- 
schränkende Nebenbedingung bezüglich z(x 0 ); doch gibt (8), 
m 
falls z (x 0 ) < 
, eine bessere Abschätzung. 
m + 1 
Wir haben noch den Beweis des Hilfssatzes I von S. 11 
nachzutragen und beweisen zu dessen Vorbereitung zunächst 
drei andere Hilfssätze. 
Hilfssatz II (Verallgemeinerung der Descartes- 
schen Zeichenregel): Sind 
65) a 0 > a, > • • • > a r 
reelle Exponenten und A 0 , J.,, . . . A r reelle von Null 
verschiedene Koeffizienten, so hat der (r -j— 1) glied- 
rige Ausdruck 
66) f(x ) = A 0 x°o A t x a > + • • • + A r x a r 
höchstens so viele positive Nullstellen, als in der 
Folge A 0 , A x , . . . A r Zeichenwechsel Vorkommen. 
Die Anzahl dieser Wechsel sei w(<Cr); p sei die Anzahl 
der positiven Nullstellen der Funktion (66). Aus iv = 0 folgt 
selbstverständlich p = 0. Wir nehmen daher w > 0 an und 
zeigen, daß dann die weitere Annahme p> w auf einen Wider- 
spruch führt. * 
Es seien etwa die Koeffizienten A k und A k +\ verschieden 
bezeichnet; wählt man dann den Exponenten p so, daß jede 
der Summen a Q -f- p, a, -}- p, . . . a k -f- p positiv, dagegen jede 
der Summen a k + 1 -j - P, a k + 2 + p, ■ • • a r -f- p negativ wird, 
so hat der (r -)- 1) gliedrige Ausdruck 
