Bemerkungen zu Sätzen der Gaußsehen theoria etc. 
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67) f l (x) = ^M = B 0 xhJ r B,xf^---B,xfr 
mindestens p — 1 positive Nullstellen; die Folge B 0 , 2?,, . . . B r 
dagegen hat (falls wieder die Anordnung ß 0 >ßl>--->ßr 
hergestellt wurde) genau w — 1 Zeichenwechsel. So wie f x ( x ) 
aus f(x) gebildet wurde, kann man, wenn iv — 1 > 0 ist, aus 
f x (#) einen ( r -)- 1) gliedrigen Ausdruck f 2 (x) bilden, der min- 
destens p — 2 positive Nullstellen besitzt und genau w — 2 
Zeichenwechsel in seinen Koeffizienten aufweist. Schließlich 
käme man so zu einem Ausdruck f,„ ( x ) mit der positiven An- 
zahl ( p — w) oder einer größeren Anzahl positiver Nullstellen, 
aber mit lauter gleichbezeichneten Koeffizienten, was unmög- 
lich ist. 
Wir benutzen nachher nur folgenden besonderen Fall des 
Hilfssatzes II : 
Die Funktion (66) hat höchstens r positive Null- 
stellen. 
Auf Grund dieses Satzes ergibt sich leicht der folgende 
Hilfssatz III: Sind x x , x 2 , ... x r r gegebene von- 
einander verschiedene positive Zahlen und gilt (65), so 
kann man in eindeutiger Weise für A x , A 2 , . . . A, reelle 
von Null verschiedene Zahlen finden, der Art, daß 
68) f(x) = x'* -f- A 1 x a t + • • • -J- A r x a r 
für x = x x , x 2 , ... x r verschwindet. 
Löst man nämlich die r linearen Gleichungen 
69) 0 = Xi° + A x x a ß H f- Ar x a t ' 
(i = 1, 2, ... r) nach A x , A 2 , . . . A, auf, so erhält man die 
A s als Quotienten von Determinanten, deren keine einzige, wie 
leicht zu zeigen ist, verschwindet. Denn faßt man irgend eine 
dieser Determinanten als Funktion F(x x ) der für einen Augen- 
blick als veränderlich zu denkenden Größe x x auf, so ver- 
schwindet die r gliedrige Funktion F (#,) an der r — 1 Stellen 
x x — x 2 , x 3 , ... x ri kann also nach Hilfssatz II nicht ver- 
schwinden, wenn x x , so wie es nach Voraussetzung geschehen 
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