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G. Faber 
soll, einen von x 2 , x 3 , ... x r verschiedenen Wert annimmt, es 
sei denn, daß F (#,) identisch verschwindet, d. h. daß alle Koef- 
fizienten von F(x^) Null sind. Das würde aber besagen, daß 
gewisse ( r — 1) gliedrige Ausdrücke für mehr als r — 2 Werte 
also identisch verschwinden. Schließlich käme man zu dem 
Widerspruch, daß eingliedrige Ausdrücke wie x a r k verschwinden. 
Endlich beweisen wir noch den 
Hilfssatz IV: Hat die ( r -}- 1) gliedrige Funktion (66) 
r positive Nullstellen, so wechselt sie jedesmal das 
Vorzeichen, wenn x durch eine dieser Nullstellen hin- 
durchgeht. (Es wäre leicht, noch etwas allgemeiner zu zeigen, 
daß jede dieser r Nullstellen eine einfache sein muß und daß 
in der Aussage des Hilfssatzes II die Nullstellen mit ihrer Mul- 
tiplizität gezählt werden dürfen.) 
Es ist erlaubt, beim Beweise außer der Voraussetzung (65) 
noch die zu machen, daß a 0 = 0 ist, weil man ja f{x) andern- 
falls durch f{x ) x~"o ersetzen dürfte. Hätte dann aber die 
Funktion f(x) unter ihren r Nullstellen auch nur eine ohne 
Zeichenwechsel, so hätte die r gliedrige Funktion f‘(x) min- 
destens r Nullstellen im Widerspruch mit Hilfssatz H. 
Den Hilfssatz I von S. 11 können wir auch so fassen: 
Hat die Funktion xp (x) nicht mehr als r verschie- 
dene positive Nullstellen mit Zeichen Wechsel: x 2 , 
. .. , x r , so kann die Funktion 
co 
70) .F(a) — J V’ ( x ) F 1 dx 
o 
nicht r 1 verschiedene Nullstellen a 0 , <*,, ... a r be- 
sitzen. Wäre dies nämlich doch der Fall, so wäre auch 
00 
71) j xp (x) ( X “0 + A t X a * -(-••• -f- ArX'tr) dx = 0, 
0 
mit willkürlichen Koeffizienten A 1 , A 2 , ... A r . Wählt man 
diese aber nach Hilfssatz HI so, daß x"o -J- A x x a * + • • • -f- 
A, x a r = 0 wird für x = x t , X 2 , ... x r , so hat nach Hilfs- 
