Über die Reihe etc. 
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cos 
E 
n = N 
(4) 
((»+!)(#-*)- f) ( 
ao 
< s 
COS ■(» + $) (0 + Ä) — - 
+ 2 53 
n = V 
V » -~—n=N Y n 
1 + 2 sin 2 ( n -f- h 
V* 
cos 
(i n -b $j 0 - 
Hieraus ergibt sich : 
Konvergiert die Reihe $, absolut in dem Inter- 
vall ft bis ft -\- h, so konvergiert sie auch in dem dazu 
symmetrischen Intervall ft — h bis ft. 
Würde nun die Reihe innerhalb eines beliebigen Inter- 
JZ 7Z 
valls innerhalb 0 bis bzw. — bis n absolut konvergieren, 
so würde aus obigem Satze folgen, daß die Reihe S x auch in 
Ti 7Z 
den Grenzpunkten ft = 0 und ft = bzw. ft = —■ und ft = n 
La La 
CO 1 
absolut konvergiert. Nun divergieren aber die beiden 2 j — — » 
n = N Y fl 
1 . . ... 
23 y— -• Wir kommen also zu einem Widerspruche. Die 
» = v Y2n 
Reihe S r divergiert daher absolut im ganzen Inter- 
vall 0 b is n. Somit gilt entsprechend (1) und (2) der Satz: 
00 
Die Reihe 23 +»0*0 divergiert für alle x des Inter- 
n = 0 
valls — 1 < x < 1 . 
Betrachten wir nun die Reihe 1 ): 
(5) 
2J r n P„ (cos ft ) , 
n — 0 
so wird diese Reihe innerhalb des Einheitskreises ab- 
') Solche verallgemeinerte Kugelfunktionen-Reihen wurden von T. J. 
J’A. Brom wich, Investigations on series of zonal harmonics, Proc. of 
the Lond. math. Soc. (2), 4 (1906), S. 204 — 222 untersucht; diese Unter- 
suchungen sind ganz analog denen von Pringsheim, Hardy u. a. über 
das Verhalten von Potenzreihen an der Konvergenzgrenze. 
