Die Boursche Methode der Flächenbestimmung etc. 
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Zu einem derartigen Bogenelement (2) gehören bekannt- 
lich, wie Bour zuerst festgestellt hat, Schraubenflächen, die 
man leicht bestimmen kann, indem man in (3) einsetzt 
(5) z = U(u) xv; 
für x = 0 erhält man Rotationsflächen. 
Wir wollen jetzt unter Ausschaltung der trivialen Lö- 
sungen (5) den Fall G = u genauer untersuchen. (3) nimmt 
hier die Form an 
(6) 4 u (z u z 22 — z\ 2 ) + 2 u z x z n + z\ — 1 = 0 . 
Von dieser Gleichung sollen jetzt verschiedene Lösungen 
angegeben werden. 
Zunächst einmal gelingt es, in bescheidenem Maß eine 
„Separation der Veränderlichen“ zu erreichen. Macht man 
z. B. den Ansatz 
(7) e = TJ{u) fl- ^v 2 + c x v (* + 0), 
so erhält man zur Bestimmung von U die Gleichung 
luxü“ + 2uU‘U“ -\-(U‘) 2 — 1 =0, 
deren Integration auf 
(1 + uy~ 8 *(1 — uy + 2x = 
führt. TJ ist damit bis auf eine Quadratur bestimmt, und z 
enthält dann drei wesentliche Konstanten, während (5) nur 
eine wesentliche Konstante enthält 1 ). 
Ein zweiter Ansatz 
z — u + V(v) 
mit einer willkürlichen Funktion erfüllt (6) identisch und er- 
gibt Regelflächen. Man erkennt dies sofort, da (4) in diesem 
Falle ergibt 
L = 0. 
*) Vgl. hierzu die eingehende Darstellung der Verbiegung von 
Rotations- und Schraubenflächen bei G. Sch ef fers, Einführung in die 
Theorie der Flächen (Leipzig 1902), S. 293 und 421. 
