44 H. Liebmann 
worden ist, ist auf der andern Seite geradezu das klassische 
Beispiel für die Weingartensche Methode. Die Flächen mit 
diesem Bogenelement sind nämlich Zentraflächen von Minimal- 
flächen, und da einerseits alle Flächen mit derselben Relation 
zwischen den Hauptkrümmungsradien, in unserem Fall 
-Rj -f" -R 2 = ^ 
aufeinander abwickelbare Zentraflächen besitzen, anderseits alle 
Minimalflächen bekannt sind, so sind damit alle Flächen mit 
dem genannten Bogenelement bekannt 1 ). 
Wir wollen aber der Vollständigkeit halber diese Lösung hier 
entwickeln, um sie der weniger elastischen Bo urschen Methode 
gegenüberzustellen und zugleich das Ergebnis weiter verwenden. 
Wir bezeichnen die Koordinaten jetzt mit £, rj , £ und 
stellen uns die Aufgabe, durch den Ansatz 
£ = u X -J- aj, 
(8) tj = u r+ y, 
C = uZ fl- z 
zu erreichen, daß das Bogenelement den Wert 
(9) da 2 = du 2 -J- udv 2 
erhält. Dabei ist ( x , y, z) eine noch zu bestimmende Fläche, 
X, Y, Z sollen die Richtungscosinus ihrer Normalen bedeuten. 
Bezeichnet man das Bogenelement dieser Hilfsfläche mit ds 2 , 
so hat man die Forderung 
du 2 -f- udv 2 = do 2 = du 2 -J- u 2 Xd X 2 -j- ds 2 fl- 2 uXdXdx 
zu erfüllen. Führt man auf der Hilfsfläche Minimalparameter ein 
und bezeichnet man die Fundamentalgrößen der Hilfsfläche mit 
E, F, G, L, M, N, mittlere Krümmung und Krümmungsmasse 
wie üblich mit H und JV, so erhält man hieraus die Forderung 2 ) 
9 Vgl. auch Math. Enc. III, D 5 (von Lilienthal), Besondere Flächen, 
Nr. 17 und 18, sowie Darboux, Theorie des surfaces IV (Paris 1896), p. 324. 
2 ) Der Formelapparat der Flächentheorie ist in den „ Tafeln“ am 
Schluß des oben genannten Werkes von Scheffers zusammengestellt. 
Hier kommen namentlich die Tafeln XII und XVIII in Betracht. 
