Über den Hauptsatz aus der Theorie der konf. Abbildung. 93 
§ I. Beweis des Hauptsatzes. 
Es gibt jedenfalls unendlich viele Gebiete b, die durch 
folgende Eigenschaften gekennzeichnet sind: 
a) alle b liegen ganz im Endlichen, etwa innerhalb der Kreis- 
linie \z\ = 2/’ (vgl. (2)); alle b enthalten den Nullpunkt; 
b) es gibt für jedes b eine Funktion Z = F(z) mit der Um- 
kehrung z = p(Z), wodurch b unter Beachtung der 
Nebenbedingungen F(0) = 0, F' (0) = 1 auf ein Kreis- 
gebiet Z\ < r abgebildet wird; 
c) g ist Teilgebiet von jedem b und zwar echtes oder un- 
echtes. 
Bewiesen soll eben werden, daß letztere Möglichkeit Wirk- 
lichkeit ist, d. h. daß g selbst ein Gebiet b ist. 
Die unter b) erwähnten Radien r sind alle ^ 2 T und > y, 
wie man leicht mittels des sog. Schwarzschen Lemmas er- 
kennt; die Radien r haben somit eine endliche von Null ver- 
schiedene untere Grenze q. Ich behaupte nun: 
a) Es gibt ein Gebiet b, für welches r — q ist. 
ß) Die ses Gebiet b ist mit g identisch. 
Beweis von a): Wäre für kein Gebiet b der zugehörige 
Radius r = q, so gäbe es unendlich viele solche Gebiete b,, 
b 2 , . . ., deren Radien r x , r 2 , ... die Bedingung lim r n = g 
ti-+ OO 
erfüllen. Nach einem bekannten Montelschen Satze dürfen 
wir außerdem annehmen, daß die zugehörigen Potenzreihen 
p,(Z), \> 2 (Z), ... im Gebiete \Z\ <p gegen eine Grenzfunk- 
tion p (Z) = lim \> n (Z) mit p(0) = 0, p'(0) = 1 konvergieren. 
W -►00 
Durch z — p ( Z ) wird das Gebiet j Z\ < q auf ein einfach zu- 
sammenhängendes schlichtes Gebiet e der ^-Ebene abgebildet; 
wegen des sehr einfachen Beweises darf ich auf Caratheo- 
dory, Math. Ann., Bd. 72 (1912), S. 120/21 verweisen, e liegt 
offenbar innerhalb der Kreislinie \z \ = 2 F. Zum vollen Be- 
weise von a genügt es, somit zu zeigen, daß g ein Teil von e 
ist, also daß \F{zß) <p ist, für irgend einen Punkte, von g, 
