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F. Lindemann 
wenn A = ( abo ) 2 die Invariante der Kurve bezeichnet. Ist 
nun u die Verbindungslinie der Punkte x und y, v diejenige 
der Punkte x und z , also: = (xy) ( , v, = (xz)i, so wird 
2 ( *¥„ „ l F,v — 'PL) = [(asy) ißxz) — (axz) (ßxz)J J 
= {xyzf (a ß x) 2 = | A • (a: «/ ^) 2 • a x . 
Bezeichnen wir mit x, y, z die Ecken eines Dreiecks, mit 
u, v, w die gegenüber liegenden Seiten, mit cp x , cp y , <p z die 
Winkel, mit r x , r y , r z die entsprechenden Seiten, so ist be- 
kanntlich : 
Q, 
cosm - 7 - = . 
* VQ,jyÜ„ 
y 
Q, 
Q 
, cosin -f- = 
xy 
k VO ze Q x 
: , cosm y = - * , 
* 1 lQ xx Q yy 
■ <Px 
cosin tt = 
' 1 ' 
<Py 
cosin yr = 
x MT fl 
_ 
, . — « i^uoiu 7 . — , — « cosin . — , 
k* VW W k V V *F k V W 'P 
V x vv x toto V x toto x u u r x ti <4 vv 
r U f 
also : 
sin 
<Px 
sin 
Je 1 
und folglich : 
. r x 
sin 
sin 
Je 
<p_x 
Je* 
VQ yy Q zl — Ql, = VW UU 
V &yy G" V2Q yy Qj 
I _ (xyz)V2A- Q xx 
VS 
. r y . r t 
1^3 *F UU , >F U W 
Sin y- sm y- 
A: A: 
V2Aä„L>„ä„ sin | s in 
womit der Sinus-Satz gewonnen ist. Für den Cosinus-Satz 
benutzen wir die weitere Identität: 
'l*u „ = Ua V a = {ab u) {ab v) = ( a x b y — b x a y ) ( a x b e — b x a z ) 
2 (Q xx Qyz Üxy Qxz) ) 
OzxÜxy 
■ r y r, . . <Px . r y . r, 
cosin y • cosin y 4- cosin y- • sin y • sin y — , _ 
* Ä Je Je Je Q xx y Q G 
Qxx Qyi 
yy 
*** 
+ ; . T-rrr • ' " = COSIH 7 , 
V 2 Ü xx V Q yy Q tt Q xx Y Q yy Q tl * 
