Zur Trigonometrie im nicht-euklidischen Raume. 
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und entsprechend für den andern Winkel. Auf demselben 
Wege erhält man die sphärische Trigonometrie der euklidi- 
schen Kugel, indem man die Punkte der Ebene durch das 
Strahlenbündel der Kugeldurchmesser, den Kegelschnitt Q xx = 0 
durch den Asymptotenkegel der Kugel nach dem Prinzipe der 
Dualität ersetzt. 
2. Die Trigonometrie auf einer nicht-euklidischen 
Kugel ergibt sich in folgender Weise. Ist Q xx = 0 jetzt die 
Fundamentalfläche des Raumes und y der Mittelpunkt der Kugel 
mit Radius r, so ist die Gleichung derselben: 
00 
y 
Q XX Q yy * COSin- Q xy — 0 
Zwei in der Diametralebene u liegende Gerade, die außer- 
dem bzw. in der Ebene v und v 1 liegen, bilden einen Winkel cp, 
bestimmt durch 
. qp (ab uv) (ab uv') 
(5) cosin 7 , = . — , 
k Y (abuv) 2 • (abuv 1 ) 2 
wenn ß = a x = b x • • • . Wird die Kugel von den Linien 
bzw. in den Punkten z und t geschnitten und bezeichnet r 
einen beliebigen Punkt der Schnittlinie von v und v‘, so kann 
man setzen : 
Ui = (yzt)i , Vi = (yz t ),, V i = (ytz)i , 
und dann wird, da u y = 0, u c = 0: 
Qu ctg a T 
= u z • (a,j b t — by a z ) = (yztz) (a y b z — b y a z ) , 
(ab uv) = 
also : 
by b v b j 
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(abuv) (abuv 1 ) — (y ztz) • 2(Q,, y Q e t — ß^ß^)) 
(abuv) 2 = 2(yztz) 2 (Q yy Q ze — Q y z), 
(abuv 1 ) 2 = 2 (yztx) 2 (Q yy Q tt — Q y t), 
ß y y ß z t - - y z Qy t 
k ‘ yWyyQtt - ß/z) (Qyy Ott- W) 
r \ 2 Qyy Q et Qyj Qyt _ 
cosin j- = 
= ^cotang 
ß y e ßy t 
( 6 ) 
