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F. Lindemann 
wenn 2Ö XX = Q vy Q xx — Q xy die linke Seite der Gleichung des 
Asymptotenkegels bezeichnet. Der Winkel y zweier Diametral- 
ebenen v, w ist bestimmt durch 
( 7 ) 
• W 
cosin -p = 
{abcv) ( abcw ) 
V P V 'i'tcw V (ab cvf • ( d ef wf 
Andererseits berühren die beiden zur Bestimmung des den 
Winkel definierenden Doppelverhältnisses dienenden Ebenen, 
die durch den Schnitt von v und w gehen, auch den Kegel 
2S XX = 0 und den Kegelschnitt, in dem dieser Kegel die Fläche 
ü xx = 0 berührt. Die Gleichung des letzteren in Ebenen- 
koordinaten u ist 
P« „ = 2 (K vl — u a u ß v a v ß ) = (u a v ß — Uß v a f = 0 , 
wenn v, = CiC y = did y gesetzt wird; es ist: 
O« Vß Uß V,) 2 — (Ua Cß — Uß C a ) (U a dß — Uß d a ) c y d y 
= 2 (w„ • c ß d ß c y d y — u a Uß c a d ß c y d y ) . 
Hierin ist 
CßdßCydy = \(cabe)dy\(dabe)c y —{dabc)ey—(dace)b y — ( dcbe)a y \ 
= \{cabe f d' y = \A- Q yy , 
u ß u a CadßCydy = ( abcu ) ( fghu ) {ab ec) {f ghd)c y d y 
— \{ab eu) {ab ec) c y {f g h df u y 
= T V ( ahe c f (f 9 h df Uy = T V A 2 ■ Uy , 
also 
1 A 2 u- 
P „ u = l A • Qyy -{abc uf 
P„ „ = \ A - Q yy -{abc u) {abcv) — ^ A 2 u y v y . 
Da nun v y = 0 und w y = 0 ist, so folgt: 
. y P v ,„ {abcv) {abciv) 
cosin 7 - = , — = J— , 
k yp vv p w ,c V {abc vf -{abcwf 
wie in (7), wodurch das geometrisch evidente Resultat auch 
rechnerisch bestätigt wird. Zwischen den Kanten- und Flächen- 
winkeln einer dreiseitigen Ecke gelten also in der nicht-eukli- 
dischen Geometrie dieselben Formeln wie zwischen den Seiten 
und Winkeln des ebenen Dreiecks (oder des euklidischen 
sphärischen Dreiecks). 
