Zur Trigonometrie im nicht-euklidischen Raume. 
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3. Um den Winkel cp durch einen Bogen auf der nicht- 
euklidischen Kugel zu ersetzen, müssen wir allgemein den 
Bogen einer Kurve durch den zugehörigen Zentriwinkel aus- 
drücken. Das Quadrat des Bogenelementes ist allgemein 
( 8 ) 
ds 2 _ 
Tc 2 ~ 
QxjcQdxdx &xdx 
Q 
2 
XX 
und das Quadrat des unendlich kleinen Winkels der Linien u 
und u du 
(9) 
dcp 2 F uu x F dudu — F'au 
k‘ 2 ~ P; lu 
wo Q = 0 und X F — 0 die Gleichungen des Fundamentalkegel- 
schnittes in Punkt- bzw. Linienkoordinaten seien. Die Glei- 
chung des Kreises mit dem Zentrum y und dem Radius r ist: 
(10) R’Q xx Üyy — ü xy = 0, wo iü = cosin 2 y, 
und die Differentiale genügen der Bedingung: 
(11) R ' ^xdx ^yy ^xy Qydx == 0 
Nach (1), (10) und (11) haben wir, wenn zur Abkürzung 
dXi -- Z{ , 
dui = Wi gesetzt wird: 
u u 
— 2 (Q xx 
Q 02 \ — 
2(1 R) Q XX Qyy, 
W 
x 10 W 
II 
to 
IS 
«S2 
O OM — 
özzt — 
2 ,, 
f) * 
"ii 
&ZZ R&XZ. 
Uf 
* uw 
= 2 ( Ü xl 
®y y Qxy Qyz) 
= 2(1- 
R ) Qy y &xz j 
folglich : 
dcp 2 
Qxx&z,— G'x‘ 
ds 2 
1 
Id 2 
Q- x (1 — R) 
k 2 1- 
- R ’ 
oder: 
ds 2 
Jd ~ 
d( P > (1 >_n 2 _ 
.g 
"r. Im 
'ts ^ 
ii 
r\ 2 
k ’ 
womit die bekannte Formel zwischen Bogenelement eines Kreises 
und zugehörigem Zentriwinkel erhalten ist: 
s . r cp 
k = sm k’T‘' 
