135 
Über den Konvergenzexponenten der Fourierschen 
Reihen gewisser Funktionenklassen. 
Von Otto Szäsz in Frankfurt a. M. 
Vorgelegt von A. Pringsheim in der Sitzung am 6. Mai 1922. 
Einleitung. 
Bezüglich der absoluten Konvergenz einer trigonometri- 
schen Reihe 
(1) (ßj cos x + &, sin x ) -}- (a 2 cos 2 x -}- b 2 sin 2 x) -j- • • • 
kann man nach Sätzen von Denjoy (C. R. 155, 1912, II, S. 135 
bis 136), Lusin (C. R. 155, S. 580 — 582) und Fatou 1 ) zwei 
Fälle unterscheiden: die Reihe (1) ist entweder überall absolut 
konvergent, oder sie ist es höchstens in einer Punktmenge vom 
Maße Null, je nachdem die unendliche Reihe 
£ Val + bl = £ | a v — i b v = £ c v | , 
(2) V=1 V=1 v=l 
Cy dy t1)y) V - i 1, 2, 3, ... 
konvergiert oder divergiert. 
Wenn also die Reihe (1) in einer Punktmenge von posi- 
tivem Maß absolut konvergieren soll, so muß die Reihe (2) 
konvergieren, und (1) ist dann offenbar die Fouriersche Reihe 
einer durchweg stetigen Funktion 2 ). Es ist daher von Interesse, 
*) Man vgl. insbesondere P. Fatou, Sur la eonvergence absolue 
des series trigonometriques, Bulletin de la societe mathematique de 
France 41, 1913, S. 47-53. «, 
2 ) Es ist dann sogar die Potenzreihe 2 c v z " für \z\^=Ll absolut 
V — 1 
und gleichmäßig konvergent, und die Reihe (1) stimmt offenbar überein 
mit dem Realteil dieser Potenzreihe für z — e %x ~ 
