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0. Szäsz 
Bedingungen für die stetige, nach 2 n periodische Funktion f(x ) 
anzugeben, unter denen die zur Fourierschen Entwicklung 
d 00 
f (x) ~ 77 -}- X iflv cos v x -j- b y sin v x ) 
gehörige Reihe (2) konvergiert. Den allgemeinsten hierher 
gehörigen Satz hat Herr S. Bernstein 1 ) aufgestellt: 
Satz I. Wenn die Funktion f (x) einer Lipschitzschen 
Bedingung vom Grade a > ^ genügt, so ist ihre Fouriersche 
Reihe absolut konvergent (sc. überall); dagegen gibt es zu 
jeder Zahl ß Funktionen, die einer Lipschitzschen Be- 
dingung vom Grade ß genügen und deren Fouriersche Reihe 
nicht absolut konvergiert 2 ). 
S. Bernstein gibt hierfür keinen Beweis an, sondern be- 
merkt nur, daß sich derselbe auf folgende Tatsache stützt, die 
er dann herleitet: 
Das Maximum von 
-J— <? 2 “H ' * * ^«5 *'=1)2 , n, n = Primzahl 
für die Gesamtheit aller trigonometrischen Polynome w ter Ordnung 
n 
Tn (#) = XI £?»■ C0S 0 ' X a >) f Qy ^ 0 , 
v= 1 
die der Bedingung 
I T n (x) | 1 für 0 < x < 2 n 
genügen, hat die Größenordnung Vn. 
Von den Untersuchungen S. Bernsteins ausgehend ge- 
lange ich im folgenden zu einem einfachen Beweis und einer 
Verschärfung des Satzes I, indem ich eine allgemeinere Frage- 
stellung behandle. Ich sage: eine Klasse (K) stetiger Funk- 
tionen besitzt den Konvergenzexponenten y, wenn einer- 
seits für die Fouriersche Reihe irgend einer Funktion aus ( K ) 
und für jedes y. > y die Reihe 
’) Man vgl. S. Bernstein, Sur la convergence absolue des series 
trigonometriques. Comptes rendus 158 (I, 1914), S. 1661 — 63. 
2 ) Gemeint ist offenbar: nicht für jedes x. 
