Über den Konvergenzexponenten etc. 
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S («? + &v ) 2 = £ ! Cy \ x , (c y = a v — i b r ) 
V — 1 V = 1 
konvergiert, während es andererseits zu jedem x < y eine Funk- 
tion in der Klasse ( K ) gibt, so daß die zugehörige Reihe c,, * 
divergiert. Herr T. Carlemann hat gezeigt, daß die Klasse 
aller stetigen Funktionen den Konvergenzexponenten y = 2 
besitzt, wobei natürlich y 2 längst bekannt ist. Etwas schär- 
fere Resultate erhielt ich in meiner Arbeit: Über Potenzreihen, 
die im Einheitskreise beschränkte Funktionen darstellen 1 ). Wird 
die Klasse ( K ) aus den stetigen Funktionen f{x) gebildet, die 
einer Lipschitzschen Bedingung vom Grade a genügen, d. h. gibt 
es zu jedem f(x) eine von x unabhängige Größe A, so daß 
(3) \f( x ) — f(u)\<^Xx — u j° 
für alle x und u, so ist y eine Funktion von a, die offenbar 
mit wachsendem a monoton abnimmt, und der Satz I ist gleich- 
bedeutend mit den Ungleichungen: 
y (a) < 1 für a > | und y (a) > 1 für a < \ . 
Im folgenden wird für 0<a<l y (a) genau bestimmt; 
es ergibt sich : 
Y(a) = 2« 2 +I’ 0<a ^ 1 ’ 
mit der Verschärfung, daß eine nur von a abhängige Potenz- 
0 ° 
reihe '^yy^ v angegeben wird, die im abgeschlossenen Einheits- 
o 
kreise eine der Lipschitzschen Bedingung vom Grade a ge- 
nügende Funktion Cr(V) darstellt, wobei '±j.y v \ x für jedes 
X< 2^+1 diver « iert - 
Schließlich ersetze ich die Bedingung (3) durch eine weit 
allgemeinere, während der Konvergenzexponent derselbe bleibt 
(vgl. Satz III). 
') Math. Zeitschr. 8, 1920, S. 222 — 236. Daselbst Literaturnachweis. 
Sitzungsb. d. niatb.-phys. Kl Jabrg. 1922. 
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