Über den Konvergenzexponenten etc. 
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Setzt man hier 
r 2 — C 
nt = r, also dt = —dz, t 2 ~ u = — — , 
’ n ’ n 2 ~ a 
so wird 
, . .. 2 a ~ l 7iA C sin 2 r 2 a jr/l fsimr 7 
o n (x ) — /(a;) < r - s — ör< — dz, 
w /WI w J»“- 1 ! 2 -“ »“ J r 2 -° ’ 
0 0 
womit der Hilfssatz 1 bewiesen ist 1 ). 
Hilfssatz 2. Für nicht negative d v , d v und für p~> 1 
gilt die Ungleichung: 
«j / ”2 \ i / "2 \ . _ 1 2) 
(6) SflU £ dJfW £ <U p . 
v = nj \v = nj J \v=zn\ J 
Insbesondere für d v = 1 (v = w, -f- 1, . . . w 2 ) wird 
(7) £ d,, < w p f £ d, p V , n = n 2 — w, + 1 . 
V = «! \v = t » 1 / 
Die Ungleichung 7 (a) ^ 
ergibt sich nun folgen der- 
2a + 1 
maßen : es ist offenbar nach (F) und (4) 
| M 1 CD 
f(?) — O n (x) — £ v (a,, cos vx -\-b v sin rx)-\- £ (a,. cos v x 
n v= 1 v=n 
-f- sin v#), 
und hiernach 
2 Tr 
1 f K (*) — f OO? da: = ~ £ v 2 (a* + bl) + £ « + bl) . 
Tl J n v — 1 v = n 
Hieraus und aus (5) folgt nun sofort 
(8) £ (al + bl) = £ \e v 2 < , n = 1, 2, 3, . . 
v=n v — n — « “ 
') Man vgl. S. Bernstein, Sur l’ordre de la meilleure approxima- 
tion des fonctions continues. Acad. Roy. de Belgique, Classe des Sciences. 
Memoires, II. Serie, t. 1Y. Bruxelles 1912, S. 1 — 104; insb. S. 88—89. 
2 ) Man vgl. z. B. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inega- 
lites entre les valeurs moyennes, Acta math. 30, S. 175 — 193; insb. S. 181. 
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