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H. Hamburger 
Endlich ist nach Voraussetzung/ 1 ^) und damit auch G(s) 
im Streifen — ß < 9t (s) bis auf endlich viele Pole regulär; 
folglich ergibt sich aus einem oft angewandten funktionen- 
theoretischen Hilfssatze von Phragmen-Lindelöf 1 ) — der ge- 
stattet, von der Größenordnung einer analytischen Funktion 
auf dem Rande eines Bereiches auf ihre Größenordnung im 
Innern zu schließen — wegen (3) und (4) die Existenz zweier 
positiver Konstanten T‘ und C'", derart, daß in dem ganzen 
Bereiche — ß < 3t ($) <i f , \ t > T' 
(5) 't\~* ist. 
Bezeichnet x eine positive Zahl, so bilde man das Integral 
I + ® • - ß - oo i 
(6) J{x) = ^ J* G(s)x~ s +-ds — J (r(s)z~ s + 2 eZs^; 
^ — oo « — ß -f- ce % 
dann läßt sich wegen (5) J ( x ) als ein Integral über den Rand 
des Streifens — ß < 94 (s) < auffassen, und es ergibt sich nach 
dem Cauchyschen Integralsatz 
(7) J(x) = R(x), 
unter R(x ) die Summe der Residuen von G(s) an den endlich 
vielen Polen im Innern des Streifens verstanden ; mithin ist 
( 8 ) 
m 
R(x) = S a; _s » + 2 P v (loga;), 
v = l 
wenn s,, s 2 , . . ., s y) . . ., s m die Pole von G(s) im betrach- 
teten Streifen, P lt . . ., P v , . . ., P, n Polynome in log x be- 
zeichnen. 
Setzt man, indem man für G{s ) Formel (2) benutzt (vgl. I, 
S. 249, Formel (19)) 
f + <*> i 
(f{x) = ~^-. I G{s)x~ sJ <'- ds 
2,711 J 
^ —oo i 
V 71 
2 7i i 
riti) 
f{s)(7ix)~ s+2 ds, 
H E. Phragmen und E. Lindelöf, Sur une extension d'un principe 
classique de Panalyse, Acta Math. 31 (1008), S. 381 — 406, insb. S. 385. 
