Über nach Polynomen fortschreitende Reihen. 
163 
Aus (20) und (25) folgt nun weiter 
33) lim VQÄzj = f 
für alle Punkte der Ellipse R. 
Daher konvergiert, wenn 
34) lim V a v | = ^ (< 2) 
ist (was wegen (14) mit (7) gleichbedeutend ist) die Reihe 
35) £ * * v a v Q v (x) 
o 
gleichmäßig in jedem Gebiet, das ganz innerhalb der Ellipse R 
liegt, während außerhalb dieser Ellipse Divergenz stattfindet. 
Umgekehrt sei eine analytische Funktion F{pc ) vorgelegt, 
die im Innern der Ellipse R (> 1) regulär und eindeutig sei, 
auf dieser aber mindestens eine singuläre Stelle besitze; und 
es soll gezeigt werden, daß F{x) durch eine im Innern der 
Ellipse R konvergente Reihe der Form (35) dargestellt werden 
kann, und zwar mit eindeutig bestimmten Koeffizienten 
+ 1 
36) a v = -p J* F{x) Q v (x)p(x)dx. 
— i 
Zum Beweise gehe man davon aus, daß bekanntlich F{pc) 
im Innern der Ellipse R durch eine Reihe 
37) F(X) = f> by P v (x) 
o 
dargestellt werden kann (vgl. (9), (10)) mit 
38) Ür^ | 1=^1) (_R>1). 
0 Aus der Darstellung (38) folgt nebenbei noch folgendes: Ist -F” (a:) 
eine im Intervall — 1, + 1 gegebene Funktion und 77 v (#) des Polynoms 
v ten Grades, für das das Maximum der Differenz F (x) — 17 v (x) mög- 
lichst klein (= #*) ausfällt, so ist lim &v dann und nur dann = ~ < 1, 
V— ► 00 -Zt 
