G. Faber 
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Bildet man für diese Funktion (37) die Koeffizienten a v (36), 
so erhält man 
+ i 
1 oo n 
39) «« = jT, £>• b > J (®) Q.u (*) p{x)dx , 
— 1 
40) a, ( < (2 + £ U ) 2 .“ S- 
(2 + e y y G 1 * * * 
R' 2 V ■ 2 
+ i 
ü J pW 
dx 
< 
( 1 )' 
41) 
• Gl , also 
2 
lim V | | p 
R’ 
Die mit diesen Koeffizienten gebildete Reihe (35) konver- 
giert somit im Innern der Ellipse R; es ist leicht zu zeigen, daß 
sie auch die gegebene Funktion F (x) darstellt, woraus dann 
ohne weiteres folgt, daß in (41) das Zeichen =, nicht <C gilt. 
Jedenfalls stellt die Reihe (35) eine im Innern der Ellipse R 
reguläre analytische Funktion <P(x) dar, die also in eine Reihe 
42) ( P (x) = S> R> Py (x) 
o 
entwickelbar ist, wo für n — 0, 1, 2, . . 
,2n — 2 
+ 1 
43) 
Rn = 
S " a „ f Q.u (x) P„ (x) 
n J 
- 1 
. 2n — 2 
+ 1 + 1 j 
<*> °° 1 p p (IX 
S" 2> P r (z)Q,,(x)p(z)dx J Q.u{x)P n (x) 
(vgl. (39)). 
wenn F(x) innerhalb der Ellipse R regulär ist, auf dieser aber min- 
destens eine singuläre Stelle besitzt. Dagegen gilt nur lim v k & y = 0 
V — ► 00 
für jedes k 0, falls F(x) auf der Strecke — 1, + 1 überall unendlich oft 
» 1 
differenzierbar ist. Wenn also z. B. x = cos F(x ) — y]» cos B # 
l B™ v 
gesetzt wird, wo B t ganzzahlig, j : B v ganzzahlig >• 1, lim wi y = oo, 
V — ► CO 
lim (m r \gBJ : B y = 0, so ist F(x) an jeder Stelle der Strecke — 1, -f- 1 
V— ► 00 
unbeschränkt differenzierbar, an keiner regulär analytisch. 
