Über nach Polynomen fortschreitende Reihen. 
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56) € = 2 (- r e -y. 
Es ergibt sich dies sofort daraus, daß die Strecke J r durch 
die Substitution von const. -(- x : (2 — e v ) an Stelle von x aus 
der Strecke — 1, +1 entsteht, und daß für die zur Strecke 
— 1, +1 gehörigen Tschebyscheffschen Funktionen (9) 
= 2 -v + 1 ist. Besteht aber J v aus 2 Strecken — 1, a und b, 
-f-l, wo b — a = so ist 
57) ^< 2 
aber natürlich <2~ v + 1 . 
Um (57) zu beweisen, ersetze man jede Nullstelle £ des 
Polynoms T v ( x ), die > b ist, durch £ — e y und eine etwa im 
Intervall a, b gelegene Nullstelle durch a. Dadurch geht T v {x) 
in ein Polynom T v (x) — x v + • • • über, dessen Maximalwert 
auf der Strecke — 1, 2 — e v einerseits nach (56) > 2 
ist, während er andererseits offenbar kleiner als der Maximal- 
wert von \ T y (x')\ in J r ist. Aus (56), (57) folgt, gleichviel, 
aus wie viel Strecken J v besteht, 
58) = P =4 
Mit L v (x) bezeichne ich das Polynom ) ,ten Grades 
59) L v (x) = x v -f- • • • , 
für das 
60) j* Ly(x) clx 
möglichst klein ausfällt; dieser Minimalwert sei xl. Indem 
man zum Vergleich die Polynome (11) heranzieht, beweist man 
1 — e‘ v 
61) 
genau wie (58). 
