Über nach Polynomen fortschreitende Reihen. 
169 
gleich etwas allgemeiner fasse, als für den augenblicklichen 
Zweck nötig wäre. 
In der x = £ ir\- Ebene sei ein p fach zusammenhän- 
gendes, den Punkt oo enthaltendes Gebiet G gegeben; jeder 
der Ränder C i , C 2 , . . . C p von G darf aus einer einfachen 
Jordan-Kurve oder auch aus einem geradlinigen oder krumm- 
linigen Schlitze bestehen. Mit r bezeichne ich den aus C lf 
C 2 , ... C p bestehenden Gesamtrand von G, mit z = £ k -j- irj' 
irgend einen Punkt von F. 
u (£, rj) sei das logarithmische Potential einer einfachen 
Belegung 
65) u(£, rj) — \ \g\z*±x\fi{z)\dz\, 
r 
das durch folgende Bedingungen eindeutig bestimmt ist: 
66) lim (u(£,rj) — lg x ) = 0, 
67) u (£, rj) 
nimmt einen und den nämlichen konstanten Wert lg o in allen 
Punkten des Gesamtrandes r an. Mit F„ bezeichne ich die Kurve 
68) u{£,rj) = Igo (>lgo); 
r e ist also so viel wie F 
Es gibt eine untere Grenze t, der Art, daß für o > r 
keine Kurve F a einen Doppelpunkt hat; nur im Falle p = 1 
ist r = Q. 
q n (x) sei irgend ein Polynom n ten Grades der Form 
69) q n (x) = x n + • • • 
I. Satz: Das Maximum von q„(x) auf F„ ist ^ o". 
Das logarithmische Potential 
7°) -^lg|ff»(*)| — u(£,r)) 
verschwindet im Unendlichen (wegen (66), (69)). Es nimmt 
also in dem unendlichen von F a begrenzten abgeschlossenen 
Gebiete seinen Maximalwert auf F„ an , und dieser ist nicht 
Sitzungsb. d. math.-pbys. Kl Jahrg. 1922. 
12 
