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G. Faber 
81) lim Y | q n ( x ) | = A 1 ) 
n — ► x 
gleichmäßig für alle x auf T* und alle ^ > o zur Folge. 
Jedenfalls kann man nach einem bekannten Montelschen 
Satze aus der Folge (78) eine Teilfolge auswählen, die in Gc\ 
gleichmäßig gegen eine reguläre für x — oo aber nirgends 
sonst verschwindende Funktion fix) konvergiert. Auf r„- ist 
82) Maximum von f(x ) -1 = a‘. 
Im Außengebiet von F n - ist also das Potential 
83) — lg f{pc) j u i£, rj) 
das auf der Randkurve r a ■ seinen Maximalwert Null erreicht 
<0 und identisch Null, wenn es in einem inneren Punkte 
dieses Außengebietes verschwindet, was tatsächlich für x — oo 
stattfindet. Die Funktion f{x) hat somit alle von F (x) be- 
haupteten Eigenschaften, und es braucht nur noch gezeigt zu 
werden, daß die Folge (78) selbst, nicht nur eine aus ihr her- 
ausgehobene Teilfolge konvergiert. Wäre das nicht der Fall, 
so konnte man aus (78) eine zweite Teilfolge herausheben, die 
gegen eine andere Funktion als fix), etwa cp (x) in (x;. kon- 
vergiert; dann würde aber wieder 
84) ~ lg I? 0*0| =u(£,rj), also cp (x) \ = f(x) 
folgen ; nach dieser Gleichung könnte sich cp ( x ) nur durch 
einen konstanten Faktor vom Betrage 1 von fix) unterschei- 
den; da aber lim ( 99 ( 2 ) :fix)) = 1 ist, hat die Annahme, 9 7 ix) 
X —¥■ CO 
sei nicht mit fix) identisch, auf einen Widerspruch geführt. 
Die Gleichmäßigkeit der Konvergenz der Folge (78) in G\ ist 
selbstverständlich, da jede in einem Gebiete G>. konvergente 
b Falls die Randkurve /’aus der Strecke — 1, -j- 1 besteht, ist die 
Behauptung (81) offenbar mit (33) identisch. Doch ist das dort benutzte 
einfache Beweisverfahren nur anwendbar, wenn das Außengebiet der 
Kurve r g einfach zusammenhängend ist. Durch das oben Bewiesene wird 
zugleich eine Vermutung bestätigt, die ich in einer früheren Arbeit 
(Math. Ann. 64 (1907), S. 121, Gl. (20)) ausgesprochen habe. 
