Über nach Polynomen fortschreitende Reihen. 173 
Folge beschränkter analytischer Funktionen in G>. gleichmäßig 
konvergiert. 
Wir nehmen nun an, die Kurve r (= r e ) bestehe aus den 
doppelt zählenden, S. 168 eingeführten Strecken J lf J 2 , . . . J k ; 
das Außengebiet von r ist also ein sog. Schlitzbereich. 
85) T v (x) =x v -\ 
sei das zu J = -J- J i -{- • • • J k gehörige Tsch ebyscheff- 
sche Polynom v ter Ordnung; sein Maximalwert auf J sei gl, 
dann folgt aus den Sätzen I, II sofort, daß 
86) lim g v — g 
V — ► co 
ist. Es ist einleuchtend, daß die sämtlichen Nullstellen der 
Polynome T y (x ) auf der Strecke — 1, -f- 1 liegen, auch ist 
leicht einzusehen, daß in jedem der Intervalle £, , i 2 , ... i m , 
die mit </,, J t , ... J k zusammen die Strecke — 1 , -j- 1 aus- 
füllen, höchstens eine Nullstelle von T v {x ) liegt 1 ). Lägen näm- 
lich beispielsweise in i k zwei Nullstellen x 1 und x u > x 1 von 
T v ( x ) und würde man dann £ > 0 so klein wählen, daß auch 
die Punkte x‘ — e und x“ -f- e in i k liegen, so würde die Er- 
setzung der beiden Faktoren ( x — x 1 ), ( x — x“) in T v (cc ) durch 
( x — ( x‘ — £)), ( x — ( x “ -J- e)) bewirken, daß das so aus T v (x ) 
hervorgehende Polynom an jeder Stelle in J, die keine Null- 
stelle von T v (x ) ist, einen dem Betrage nach kleineren Wert 
annimmt als T y (x), was im Widerspruch steht mit der Defi- 
nition des Tschebyscheffschen Polynoms T v (x). 
Wir zerlegen T v {x ) in zwei Faktoren: 
87) T v (x) = t v -ß(x) T ß (x) = (x v -(> ) (x ß H ), 
deren zweiter gerade an den in den Intervallen i, , i 2 , ... i m 
gelegenen Nullstellen von T v (x) verschwindet; sind solche nicht 
vorhanden, so ist tß{x) = 1. Jedenfalls also ist der Grad ß 
von Xß höchstens gleich m. 
Es kommen nur solche Intervalle i t in Frage, die ganz im Innern 
der Strecke — 1, + 1 liegen; denn es ist von vornherein klar, daß in 
einem Intervall i/, das einen der Punkte + 1 zum einen Endpunkt hat, 
keine Nullstelle von T y ( x ) liegen kann. 
